複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（５）

前回の結論は式（４４）

$P(S(+i))=\frac{m}{N}P(S)u_i$ ・・・・・（４４）

でした。ここから各状態の定常状態確率を求めることが出来ます。たとえば、装置が４台のステーションを考えます。ステーションにジョブがまったくない確率を $p_0$ で表します。するとクラス $i$ のジョブが１個だけある状態 $\{[i]\}$ の確率は式（４４）から

$P([i])=\frac{4}{1}p_0u_i$ ・・・・・（４５）

となります。ここから「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）」の式（２７）を導くことが出来ます。

- [tex:P*1=4p_0u_i]・・・・・（２７）

次に $P([i,j])$ について考えると、式（４４）から

$P([i,j])=\frac{4}{2}P([i])u_i$

この右辺に式（４５）を代入して

$P([i,j])=\frac{4^2}{2!}p_0u_iu_j$ ・・・・・（４６）

となります。ここから「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）」の式（２４）（２８）を導くことが出来ます。

[tex:P*2=\frac{4^2}{2}p_0u_i^2]・・・・・（２４）
[tex:P*3=4^2p_0u_iu_j]・・・・・（２８）

（２８）の場合は、 $P([i.j])$ と $P([j,i])$ の和と考えれば分かります。
同様に $P([i,j,k])$ については、式（４４）から

$P([i,j,k])=\frac{4}{3}P([i,j])u_k$

この右辺に式（４６）を代入して

$P([i,j])=\frac{4^3}{3!}p_0u_iu_ju_k$ ・・・・・（４７）

となります。ここから「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（３）」の式（３０）（２５）（２９）を導くことが出来ます。

[tex:P*4=\frac{4^3}{3!}p_0u_i^3]・・・・・（３０）
[tex:P*5=P*6=\frac{4^3}{2}p_0u_iu_j^2]・・・・・（２５）
[tex:P*7=4^3p_0u_iu_ju_k]・・・・・（２９）

詳細は省略しますが、装置４台の時も同様にして式（３２）（３１）（３３）（２６）を導くことが出来ます。

- [tex:P*8=\frac{4^4}{4!}p_0u_i^4]・・・・・（３２）
- [tex:P*9=P*10=\frac{4^4}{3!}p_0u_iu_j^3]・・・・・（３１）
- [tex:P*11=P*12=\frac{4^4}{4}p_0u_i^2u_j^2]・・・・（３３）
- [tex:P*13=P*14=P*15=\frac{4^4}{2}p_0u_iu_ju_k^2]・・・・・（２６）
- [tex:P*16=4^4p_0u_iu_ju_ku_m]・・・・・（３４）

これを装置 $m$ 台の時に一般化すれば、

$P(S)=\frac{m^N}{N!}p_0\prod_{i=1}^ku_{c(i)}$ ・・・・・（４８）

ただし $N$ は処理中の装置の台数であり、 $k$ はステーション内のジョブ数、 $c(i)$ は位置 $i$ のジョブのクラスを表します。また、 $N$ はその定義から

$N=\min(k,m)$

と書くことが出来ます。

ところで式（４８）はおもしろい性質を示しています。それは、ステーション内のジョブについて、各クラス毎のジョブ数が同じでジョブの順序だけが異なる状態は式（４８）より、皆、同じ定常状態確率を持つ、ということです。たとえば $P((1,2)3,4,1)$ と $P((1,1)2,3,4)$ は、クラスの並び方が違うだけなので同じ値を持ちます。