ポアソン過程の合流と分岐 - 工場統計力学（建設中！）

合流

複数のポアソン過程が合流して出来た過程もポアソン過程になります。
問題を単純化するためにＡ１とＡ２の２つのポアソン到着が合流してＢになる場合を考えます。以下、考えることは３つ以上の到着の流れが合流する場合にもそのまま適用できます。Ａ１のスループットを

$\lambda_{A1}$

とすると、ある時刻 $t$ とそれから $dt$ だけ後の時刻 $t+dt$ の間にＡ１のジョブの到着が発生する確率は、ポアソン過程ですから時刻 $t$ に依存せず

$\lambda_{A1}dt$ ・・・・・（１）

となります。同様にＡ２のスループットを

$\lambda_{A2}$

とすると、 $t$ と $t+dt$ の間にＡ２のジョブの到着が発生する確率は、

$\lambda_{A2}dt$ ・・・・・（２）

となります。ＢにおいてはＡ１、Ａ２のいずれかの到着が発生すればＢでの到着になりますので、 $t$ と $t+dt$ の間にＢの到着が発生する確率は、（１）と（２）を足した

$(\lambda_{A1}+\lambda_{A2})dt$ ・・・・・（３）

となりますから、これはスループット

$\lambda_{A1}+\lambda_{A2}$

のポアソン過程になることが分かります。
同様に考えれば、３つ以上の流れの合流の場合もポアソン過程になることが分かります。

分岐

１つのポアソン過程を確率的に複数の行先に分けて出来る複数の過程のそれぞれもポアソン過程になります。
問題を単純化するためにＡが２つのポアソン到着Ｂ１、Ｂ２に分岐する場合を考えます。以下、考えることは３つ以上の流れに分岐する場合にもそのまま適用できます。Ａのスループットを

$\lambda_{A}$

とすると、ある時刻 $t$ とそれから $dt$ だけ後の時刻 $t+dt$ の間にＡのジョブの到着が発生する確率は、ポアソン過程ですから時刻 $t$ に依存せず

$\lambda_{A}dt$ ・・・・・（１）

となります。これが確率 $p$ でＢ１の流れに、確率 $(1-p)$ でＢ２の流れに属するとします。Ｂ１、Ｂ２への決定は、Ａでの到着の各々について独立であるとします。この仮定は重要です。独立でない場合、つまり前の到着の決定が次の到着の決定に影響を与える場合は、以下の説明は成り立ちません。
独立であるとすると、 $t$ と $t+dt$ の間にＢ１での到着が発生する確率は

$\lambda_{A}pdt$ ・・・・・（２）

になり、Ｂ２での到着が発生する確率は

$\lambda_{A}(1-p)dt$ ・・・・・（３）

（２）も（３）も $t$ に依存せず、一定の確率で到着がありますので、ポアソン過程になることが分かります。
同様に考えれば、３つ以上の流れへの分岐の場合もポアソン過程になることが分かります。

分岐の補足

上の説明で、

「Ｂ１、Ｂ２への決定は、Ａでの到着の各々について独立である」

と仮定しました。この仮定が成り立たない場合、分岐した流れがポアソン過程にならないという例を以下に示します。
Ａの到着したジョブが交互に決定論的（つまり確率１で）Ｂ１とＢ２に分けられる場合を考えます。この場合、Ａの１つのジョブを取り出してこれがＢ１に行くかＢ２に行くかを問えば、それは

「確率１／２でＢ１あるいはＢ２に行く」

という答になりますが、このジョブの１つ前のジョブがＢ１に行ったことが分かっているとしたならば、このジョブは確率１でＢ２に行くことが分かります。つまり「Ｂ１、Ｂ２への決定は、Ａでの到着の各々について独立で」はありません。
そこでＢ１について考えてみましょう。Ｂ１ではＡでのジョブが一つ置きに取り出されるのでＢ１でのジョブの到着と次のジョブの到着の間隔はＡにおいては、あるジョブとその２つ先のジョブの間の到着の間隔になります。よって、その到着間隔時間の分布は同一の平均を持つ２つの指数分布の和になりますので、「アーラン分布」で示したように２次のアーラン分布になります。ということはポアソン過程ではないということです。