Ｍ／Ｍ／ｍの出発過程はポアソン過程（２）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｍ／ｍの出発過程はポアソン過程（１）」の続きです。前回の結果は

  • [tex:k
    • p(k,t)=\frac{(mu)^k}{k!}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)・・・・・（４）
  • k=mの時
    • p({\ge}m,t)=p_b\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)・・・・・（５）

でした。今回は、これを元に出発過程の確率密度を求めます。


ステーションからのジョブの出発に対応する状態遷移は下図の赤の矢印で示したものです。

ここからk番目の矢印の遷移の確率密度は

  • p(k,t)\frac{k}{t_e}

と書けることが分かります。よって、出発過程の確率密度は、これらを全て足したものですから

  • \Bigsum_{k=1}^{m-1}p(k,t)\frac{k}{t_e}+p({\ge}m,t)\frac{m}{t_e}=\Bigsum_{k=1}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)\frac{k}{t_e}+p_b\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)\frac{m}{t_e}
    • =\Bigsum_{k=1}^{m-1}\frac{(mu)^k}{(k-1)!t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)+p_b\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)\frac{m}{t_e}
    • =\left[\Bigsum_{k=1}^{m-1}\frac{(mu)^k}{(k-1)!}p_0+p_bm\right]\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}p_0+p_bm\right]\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)

ここで（８）を代入すれば

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k,t)\frac{k}{t_e}+p({\ge}m,t)\frac{m}{t_e}
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}p_0+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}p_0m\right]\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}m\right]\frac{1}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}m(1-u+u)\right]\frac{1}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}m(1-u)+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}mu\right]\frac{1}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^{k+1}}{k!}+\frac{(mu)^{m-1}}{(m-1)!}mu+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}mu\right]\frac{1}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-2}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^{m-1}}{(m-1)!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}\right]\frac{mu}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\left[\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}\right]\frac{mu}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)

ここで（６）

  • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}・・・・・（６）

を参照すれば

  • \Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k,t)\frac{k}{t_e}+p({\ge}m,t)\frac{m}{t_e}
    • =\frac{1}{p_0}\frac{mu}{t_e}p_0\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)
    • =\frac{mu}{t_e}\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)

よって、出発過程の確率密度は

  • \frac{mu}{t_e}\exp\left(-\frac{mu}{t_e}t\right)

となります。これは間隔の平均が

  • \frac{t_e}{mu}

であるポアソン分布の式にほかなりません。よってＭ／Ｍ／ｍの出発過程はポアソン過程であることが証明されました。