Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式 - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の近似式」で近似式を導いた同じ方法を使えば、Ｍ／Ｇ／１、つまり装置の処理時間分布を一般の分布に拡張した場合の近似式を求めることが出来ます。この近似式が精度よく適用出来る条件を求めることが宿題として残っていますが、私の見込みでは、処理時間の変動係数 $c_e$ が

の場合は適用出来るように推測します。というのは、これから求める式はＭ／Ｄ／１の時に誤差±２．５％でしたし、Ｍ／Ｍ／１の時には正確な式になるからです。通常の装置では $c_e$ は（１）の範囲内に入るでしょうから、これは適用範囲が広い近似式だと思います。では、導出してみましょう。

とします。満たさなければならない条件は

そして、「待ち行列理論の私的総論」に登場するＭ／Ｇ／１の平均待ち時間の式

です。これらを満たすような $p(1)$ と $b$ の値をこれから求めます。

式（２）から $k{\ge}1$ の時

が導かれます。

次に、式（４）ですが、式（３）を考慮すれば、以下のように変形できます。

式（７）に（６）を代入して

次に、式（５）ですが、まずはリトルの法則を用いて平均待ちジョブ数 $L_q$ を求める式に変形します。この場合、ＷＩＰが $L_q$ 、サイクルタイムが $CT_q$ 、スループットが

にあたるので

式（５）を用いれば

よって

一方、 $L_q$ の定義から

なので、式（１０）を考慮すると

$\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)p(k)=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}(k-1)p(k)=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)-\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$

となります。ここで式（７）を考慮すると

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)-u=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}+u=\frac{(1+c_e^2)u^2+2(1-u)u}{2(1-u)}=\frac{[(1+c_e^2)u+2-2u]u}{2(1-u)}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)=\frac{[2-(1-c_e^2)u]u}{2(1-u)}$ ・・・・・（１２）

式（１２）の左辺は

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(1)b^{k-1}=p(1)\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^{k-1}$

となりますが、「補足」の式（２）を参照すれば

ここで式（８）を考慮すれば

これを式（１２）の左辺に代入すれば

$\frac{u}{1-b}=\frac{[2-(1-c_e^2)u]u}{2(1-u)}$
$\frac{1}{1-b}=\frac{2-(1-c_e^2)u}{2(1-u)}$
$1-b=\frac{2(1-u)}{2-(1-c_e^2)u}$
$b=1-\frac{2(1-u)}{2-(1-c_e^2)u}}=\frac{2-(1-c_e^2)u-2+2u}{2-(1-c_e^2)u}}=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$

よって

よって $k{\ge}1$ の時のＭ／Ｇ／１の定常分布の近似式は以下のようになります。

- $=u\frac{2-(1-c_e^2)u-(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^{k-1}=u\frac{2(1-u)}{2-(1-c_e^2)u}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^{k-1}$
- $=\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^k$

まとめると、Ｍ／Ｇ／１の定常分布の近似式は

$p(0)=1-u$ ・・・・・（３）
の時
- $p(k){\approx}\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^k$ ・・・・・（１４）

となります。