Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（１）
「つなぎの式の導出（２）」の中で
一方、Ｍ／Ｇ／∞の時、出発過程はポアソン分布になる（証明は別途示します）ので・・・・・
と書いていたのですが、その証明がまだ出来ていません。最初に考えたのは
- a) Ｍ／Ｇ／∞では、ジョブは待つことはない
- b) よってジョブの出発時刻は、到着時刻＋処理時間となる。
- c) 到着時刻はポアソン過程に従っているので、処理時間の分布が何であっても、出発時刻もポアソン過程になる。
ということです。これらの推測のうちb)については明らかです。c)については、「搬送時間ありＭ／Ｇ／１のサイクルタイム定理」と同じ論理を用いれば証明出来ます。
しかしa)が証明出来ていません。到着過程はＭですから、ジョブはシステムにデタラメなタイミングで来ます。その時に、無限にある装置の全てが処理中であるようなことは、（装置利用率が１でない限り）まずあり得ないだろうと、直感的には分かるのですが、それを証明することが今の私には出来ません。最初は「拡散近似（８）」の重負荷定理
・・・・・（１）
を用いようと考えました。Ｍ／Ｇ／∞なので、
です。よって（１）は
・・・・・（２）
となります。ここから
を導くことが出来るだろうと想像していたのですが、よく考えたら出来ないことが分かりました。というのはが０に収束するから
が０でない可能性があるからです。
ところで、木村俊一氏の「M／G／s待ち行列の近似式の有効性について」を見ると
(4)
とあります（この式は「の時の漸近的性質」と呼ぶらしい）。ここで
はＭ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を表します。同様に
はＭ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を表します。
Ｍ／Ｍ／ｓについてはの時、
で
になるので、この式と上記引用中の(4)から
を導くことが出来ます。つまり上記a)を導くことが出来ます。しかし、今の私には(4)の導き方も分かっておりません。
「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（２）」に続きます。
