Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（２）

「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（１）」の続きです。
こんなことを考えてみました。

Ｍ／Ｇ／∞待ち行列の中からある装置を取り出して、これを装置Ａとします。その装置のほかにもう１台、装置を取り出します（これを装置Ｂとします）。装置Ａが処理中の時に装置Ｂが処理中である条件確率を考え、これをで表すことにします。待ち行列内の装置は皆、同等なので装置ＡやＢの選び方に関わらずは同じ値になると考えられます。装置Ａを選び、それが今、処理中である時、他の装置（無限台あります。）が処理中かどうかを考えますと、装置Ｂとして無限台の装置のどれを選んでもよいことになりますので、でない限り、どれかの装置は空いていることになりそうです。

• ここで装置Ａが処理中の時、装置Ｂが処理中である事象と、ＡでもＢでもない装置Ｃが処理中である事象が独立であれば、簡単に以下のことが言えます。
  • 無限台の装置のうち、処理中であるのはの割合で、空いているのはの割合である。
• しかし、装置ＢとＣが処理中であるかどうかは必ずしも独立とは言えないでしょう。そうすると、無限台ある全ての装置が処理中である確率はゼロである、と言うことは難しくなってしまいます。この困難をどう解決したらよいのか、まだ私には分かっていません。

もし、ならば、無限台ある装置のうち、空きの装置が必ず存在するのでジョブが到着した際、待たずに処理に入ることが出来ます。
もし、ならば、無限台の装置は常に同時に処理中になり、同時に空きになることになります。そうすると、ジョブはデタラメに到着しますので、全てが空いている時に到着する可能性があります。その場合その直後には、１台の装置だけが処理中になることになりますので（無限台分のジョブが同時に到着するわけではないので）という仮定に反することになります。よって。
よって、ジョブは待たずに処理を開始することになります。

以上で、「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（１）」の

• a) Ｍ／Ｇ／∞では、ジョブは待つことはない

を証明出来たように一見、見えますが、上記の

でない限り、どれかの装置は空いていることになりそうです。

というところが論理として正しくありません。もっと考えてみます。

「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（３）」に続きます。