Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（３）

「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（２）」の続きです。
Ｍ／Ｇ／∞待ち行列で、全ての装置が処理中になる確率がゼロであることの証明を試みます。

背理法で考えます。
Ｍ／Ｇ／∞待ち行列で、（無限台ある）全ての装置が処理中である確率がゼロより大きいとします。ただし、装置の利用率 $u$ は $u<1$ であるとします。
ここで、「全ての装置が処理中である」という事象を $A$ 、この事象が起きる確率を $P(A)$ で表すことにします。まず、

$P(A)<1$ ・・・・・（１）

です。なぜなら、 $P(A)=1$ ならば、この待ち行列を構成する個々の装置も常に処理中ということになり $u<1$ という仮定に反することになります。ですから（１）が成り立ちます。次に、この待ち行列の中の装置を１列に並べます。そして先頭の装置を取り出し、これを装置１と呼ぶことにします。「装置１が処理中である」という事象を $B_1$ 、この事象が起きる確率を $P(B_1)$ と表します。この定義から

$P(B_1)=u$ ・・・・・（２）

です。さらに、この待ち行列を構成する（無限台の）装置の中から装置１を除外した装置の集合 $S_1$ を考えます。「 $S_1$ 内の全ての装置が処理中である」という事象を $C_1$ 、この事象が起きる確率を $P(C_1)$ とします。事象 $C_1$ が起きたことを前提にした $B_1$ が起きる条件確率を $P(B_1|C_1)$ で表します。すると

$P(A)=P(B_1|C_1)P(C_1)$ ・・・・・（３）

となります。仮定から

$P(A)>0$ ・・・・・（４）

なので、（３）から

$P(B_1|C_1)>0$ ・・・・・（５）

です。

もし $P(B_1|C_1)<1$ ならば、事象 $C_1$ が起きたことを前提にして、 $B_1$ が起きない確率、すなわち「装置１が空いている」確率 $P(\bar{B_1}|C_1)$ もゼロより大きい確率を持ちます。ここで「装置１が空いていて、他の装置が全て処理中である」事象を $D_1$ 、この事象が起きる確率を $P(D_1)$ で表すと、

$P(D_1)=P(\bar{B_1}|C_1)P(C_1)$ ・・・・・（６）

となります。ところが装置１は無限台あるどの装置とも同等ですから、ｎ番目の装置について $D_1$ に対応する事象 $D_n$ とその確率 $P(D_n)$ が対応し、

$P(D_n)=P(D_1)$ ・・・・・（７）

になります。そして、任意の自然数 $m.n$ について $D_m$ と $D_n$ は互いに素なので、これらの和事象 $D_{sum}$ の確率は

$P(D_{sum})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}P(D_k)$ ・・・・・（８）

になります。ところが（６）はゼロより大きかったので、（７）（８）より、 $P(D_{sum})$ は無限大に発散してしまいます。これは矛盾です。よって $P(B_1|C_1)=1$ となります。

もし $P(B_1|C_1)=1$ であるならば、装置が１台だけ空いていてその他の装置はみな処理中、という状態は存在しない、ということになります。しかし、もしそうだとすると、装置が処理終了する時には「必ず」別の装置も処理終了しなければならないことになり、各々の装置が独立に動作するという仮定に反します。よって、 $P(B_1|C_1)=1$ でもあり得ないことになります。

よって、最初の仮定、
「全ての装置が処理中である確率がゼロより大きい」
が間違っていることになります。よって、ジョブが到着した時には空いている装置は必ず存在します。よってジョブは待たないことになります。
以上で、「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（１）」の

a) Ｍ／Ｇ／∞では、ジョブは待つことはない

を証明出来たようです（まだ、自信がありませんが）。