Ｍ／Ｍ／２で空いている装置がある確率

待ち行列理論

「装置台数が増えると待ち時間が小さくなる」の続きです。


Ｍ／Ｇ／１であればＰＡＳＴＡによって、到着したジョブが到着時点で、装置（１台しかない）が空いている確率は1-u（ただしuは利用率）になりますが、装置が２台以上ある場合にはどうなるのかに興味が出てきました。とは言ってもＭ／Ｇ／ｍについては簡単には解析出来ませんので、Ｍ／Ｍ／ｍについて調べてみたいと思います。
まずはＭ／Ｍ／２、つまり装置が２台ある場合です。


システム内にジョブがk個ある確率をp(k)で表すことにします。Ｍ／Ｍ／２においては「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」から

  • p(0)=\frac{1}{1+2u+\frac{(2u)^2}{2(1-u)}}・・・・・（１）

また、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式（１０）から

  • p(1)=2up(0)・・・・・（２）

となります。装置が２台ある場合に、空いている装置がある確率はp(0)+p(1)ですから、空いている装置がある確率をQで表すならば

  • Q=p(0)+p(1)=(1+2u)p(0)=\frac{1+2u}{1+2u+\frac{(2u)^2}{2(1-u)}}・・・・・（３）


仮に、２台の装置が処理中であるかどうかが互いに独立な事象であるとしましょう。その場合、２台の装置が処理中である確率はu^2ですから、空いている装置がある確率Q'は

  • Q'=1-u^2・・・・・（４）

となります。利用率uを動かしてQとQ'を比べてみると下のグラフのようになります。

これから分かるのは、まず、QとQ'は近い値であるということ、次に、QはQ'より若干小さい、ということです。つまり、Ｍ／Ｍ／２の場合、空いている装置がある確率は、装置が独立に稼動しているとした場合よりも若干小さくなる、ということです。やはり、装置は独立に稼動していると見るわけにはいきません。


そこで２台の処理状態が独立からどの程度ズレているか調べてみます。ある装置（装置Ａ）が処理中の時に、もう１台の装置（装置Ｂ）が処理中である確率Rを求めます。
条件確率の公式から

  • Ｐ（２台の装置が処理中である）＝Ｐ（装置Ｂが処理中である｜装置Ａが処理中である）Ｐ（装置Ａが処理中である）・・・・・（５）

と書き表すことが出来ます。ここでＰ（Ｘ）はＸが起きる確率を表し、Ｐ（Ｘ｜Ｙ）はＹが起きたという条件でのＸが起きる確率を表します。ある装置（装置Ａ）が処理中の時に、もう１台の装置（装置Ｂ）が処理中である確率は、Ｐ（装置Ｂが処理中である｜装置Ａが処理中である）です。（５）から

  • R=Ｐ（装置Ｂが処理中である｜装置Ａが処理中である）＝Ｐ（２台の装置が処理中である）／Ｐ（装置Ａが処理中である）・・・・・（６）

ここで

  • Ｐ（２台の装置が処理中である）＝1-Q
  • Ｐ（装置Ａが処理中である）＝u

なので、

  • R=(1-Q)/u・・・・・（７）

となります。Rを（７）と（３）から計算すると、下のグラフのようになります。

もし、装置の状態が互いに独立であれば、

  • R=u・・・・・（８）

のはずです。式（８）の線もグラフに追加すると下のようになります。

このグラフを見ると、一緒に装置が処理中になる確率がＭ／Ｍ／２の中では、装置の処理状態が独立の場合より、若干大きいことが分かります。


「Ｍ／Ｍ／ｍで空いている装置がある確率」に続きます。