「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（６）

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しかし、本当は $E$ は無限集合です。
無限集合では要素の数を測度とすることは問題があります。それに集合の要素の個数は無限ですから、変換を繰り返しても「 $E$ 内の全ての要素をたどって最後に元の要素に戻る」ということはあり得ないでしょう。
例えば、集合 $E$ を $E=\{x|0{\le}x{\le}1,x{\in}\R\}$ と考えます。そしてこんな変換 $T_0$ を考えます。

$x{\rightar}\frac{x}{2}$

この変換は $x=0$ の点以外の任意の点を不動にしません。 $x=0$ の点の測度は０ですから、測度が０でない任意の集合を不変にしないことが分かります。しかし、この変換を繰り返していっても「集合 $E$ のあらゆる場所（の近傍）を通過する」とは言えません。例えば、最初 $x=0.8$ であるとして変換 $T_0$ を繰り返すと、

0.8, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025・・・・・

となり、例えば点0.9の近くをこの系列は通りません。これでは

時間平均＝集合平均

にはなりそうにないです。この変換のどこが良くなかったかというと、この変換 $T_0$ は測度（この場合、長さ）を保存していないというところでした。 $E$ 内の任意の線分を考え、その線分の中の点の全てに変換 $T_0$ をほどこすと、元の線分の１／２の長さの線分に変換されることは明らかです。つまり変換の前後で線の長さが保存されていませんので、これは保測変換ではなかったのです。

次に、[tex:0

$x+a{\le}1$ ならば、 $x{\rightar}x+a$
$x+a>1$ ならば、 $x{\rightar}x+a-1$

という変換 $T_1$ を考えます。これならば長さは保存されます。たとえば、 $a=0.1$ とします。線分[0.1,0.6]は長さ0.5ですが、変換後は[0.2,0.7]ですのでやはり長さは0.5になります。線分[0.7,1]は長さ0.3ですが変換後は２つの線分[0,0.1]、[0.8,1]になってしまいます。しかし、両方の線分の長さを合計すれば0.3になり、やはり長さは保存されていることが分かります。
このように変換 $T_1$ は保測変換ではありますが、実は「測度可遷的」にはなっていません。例えば、集合として
[0,0.05]、[0.1,0.15]、[0.2,0.25]、[0.3,0.35]、[0.4,0.45]、[0.5,0.55]、[0.6,0.65]、[0.7,0.75]、[0.8,0.85]、[0.9,0.95]、
の和集合を考えます。するとこの集合は上記の変換 $T_1$ で自分自身に変換されます。

この集合の測度は0.05×10=0.5であり、０ではありません。よって測度が０でも１でもない集合を不変にしているので「測度可遷的」ではありません。では、 $a$ がいくつであれば変換は「測度可遷的」になるのでしょうか？

いろいろ考えた結果、こう考えることにしました。
$a$ の値として有理数を採用すると、それは $m/n$ （ $m$ 、 $n$ はともに整数、の形に書き表せます。すると、 $1/n$ 間隔で並んだ点はこの変換で互に変換されます。よって、０から $1/n$ 毎に点をとり、それらを始点とする長さ $1/2n$ の線分を $n$ 個作ると、これらの線分を構成する点は変換 $T_1$ によって必ずこれらの線分を構成するどれか別の点に変換されます。これらの線分からなる点集合の測度は $1/2n{\times}n=1/2$ ですので、変換 $T_1$ は測度が０でも１でもないような点 $x$ のある集合を不変することになります。つまり、「測度可遷的」ではないことになります。