「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（７）

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その先の検討に進みます。 $T$ が「測度可遷的」な場合には

$f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合の測度は、ほとんど常に1か0となる。これは $f^*(x)$ がほとんど常に一定でなければ不可能なことである。したがって $f^*(x)$ がほとんど常にとる値は、
　(2.23)　　　
となる。
・・・・・・
バーコフの定理では、測度0または確率0の $x$ の値の集合を除いて、
　(2.25)　　　
を得る。・・・・・・こうして、ギブスが位相平均を時間平均でおきかえたことが正当化される。

まず

$f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合の測度は、ほとんど常に１か０となる。

の解釈ですが、以下のように考えました。

図の２つの赤線ではさんだ領域が $f^*(x)$ のある範囲を示しています。 $f^*(x)$ は $x$ の値によっていろいろな値をとりますから、この範囲内にあるような $x$ の値からなる集合を考えることが出来ます。それが図で灰色で示した領域です。つまり、範囲の下限を $a$ 、上限を $b$ とすると

$E_1=\{x|a{\le}f^*(x){\le}b\}$

であるような $x$ の集合 $B$ です。これが、変換 $T$ が測度可遷的であれば、 $E_1$ の測度はほとんど常に０か１になる、というのです。

なぜ「ほとんど常に」と書いてあるのかについては私は分かりません。これは例外的に $E_1$ の測度が０でも１でもないことがあるということを言っているのかもしれません。でもそれは何に対して「ほとんど常に」なのでしょうか？

私が理解しようとして考えた内容は以下のようなものです。
まず、 $f^*(x)$ は変換 $T$ について不変です。これは以下のようにして明らかになります。

$f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)$

の $x$ に変換 $T$ をほどこすと

$f_N(Tx)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(TT^nx)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^{n+1}x)$
$=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=1}^{N+1}f(T^nx)$

よって

$f_N(Tx)-f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=1}^{N+1}f(T^nx)-\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)=\frac{1}{N+1}\{f(T^{N+1}x)-f(x)\}$

ここで $N\rightar\infty$ とすると

$f^*(Tx)-f^*(x)=\lim_{N\rightar\infty}\frac{1}{N+1}\{f(T^{N+1}x)-f(x)\}=0$

よって

$f^*(Tx)=f^*(x)$ ・・・・・（１）

よって $f^*(x)$ は変換 $T$ について不変であると私は考えました。

ここから背理法で考察します。上記の $E_1$ の測度が０でも１でもないものと仮定します。次に、 $E_1$ の全ての要素に変換 $T$ を行った $Tx$ からなる集合を $E_2$ と表すことにします。すると式（１）から $E_2$ の全ての要素についても $f^*(x)$ は上記の図に示した範囲に入るはずです。よって $E_1$ の定義から

$E_1{\supset}E_2$ ・・・・・・（２）

になります。つきに $E_1$ の補集合 $E_1^C$ を考えます。 $E_1^C$ の全ての要素に変換 $T$ を行った $Tx$ からなる集合を $E_2'$ と表します。ところで変換 $T$ は集合 $E$ を $E$ 自身に変換するので、 $E_1^C$ を変換した集合は、 $E_1$ を変換した集合 $E_2$ の補集合 $E_2^C$ です。よって

$E_2'=E_2^C$

ここで式（１）を用いると、 $E_2^C$ の全ての要素についても $f^*(x)$ は上記の図に示した範囲から外れるはずです。よって $E_1$ の定義から

$E_1^C{\supset}E_2^C$

よって

$E_1{\subset}E_2$ ・・・・・・（３）

になります。式（２）と式（３）から

$E_1=E_2$

これは、変換 $T$ に対して不変な、測度が０でも１でもない集合が存在することになるので「測度可遷性」に反します。よって仮定の「 $E_1$ の測度が０でも１でもない」が否定されるので、 $E$ （すなわち「 $f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合」）の測度は０か１、ということになります。 $f^*(x)$ の範囲を、１つの値だけを含むように狭めることで、 $f^*(x)$ がある値をとるような $x$ の集合の測度は０か１になるということになります。これが

これは $f^*(x)$ がほとんど常に一定でなければ不可能なことである。

の意味するところであると理解しました。

「「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（８）」に続きます。