「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（１）

ウィーナー

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この第３章は、難しい数式のオンパレードです。数えたら１４２個の数式が書かれていました。私にはその３／４以上の式の意味が分かりません。ちょっと、その様子をお見せしましょう。

さて、もしsとtが反対の符号をもてば、
(3.29)　　　\Bigint_0^1\xi(s,\gamma)\xi(t,\gamma)d\gamma=0
となり、またもし同符号で、かつ|s|<|t|ならば、
(3.30)　　　\Bigint_0^1\xi(s,\gamma)\xi(t,\gamma)d\gamma=\Bigint_0^1x(|s|,\alpha)x(|t|,\alpha)d\alpha
=\frac{1}{2\pi\sqrt{|s|(|t|-|s|)}}\Bigint_{-\infty}^{\infty}du\Bigint_{-\infty}^{\infty}dvuv\exp\left(-\frac{u^2}{2|s|}-\frac{(v-u)^2}{2(|t|-|s|)}\right)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi|s|}}\Bigint_{-\infty}^{\infty}u^2\exp\left(-\frac{u^2}{2|s|}\right)du
=|s|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{-\infty}^{\infty}u^2\exp\left(-\frac{u^2}{2}\right)du=|s|
を得る。したがって：
(3.31)　　　\Bigint_0^1d\gamma\Bigint_{-\infty}^{\infty}K_1(t)d\xi(t,\gamma)\Bigint_{-\infty}^{\infty}K_2(t)d\xi(t,\gamma)
=-\Bigint_0^{\infty}K_1'(s)ds\Bigint_0^stK_2'(t)dt-\Bigint_0^{\infty}K_2'(s)ds\Bigint_0^stK_1'(t)dt
+\Bigint_{-\infty}^0K_1'(s)ds\Bigint_s^0tK_2'(t)dt+\Bigint_{-\infty}^0K_2'(s)ds\Bigint_s^0tK_1'(t)dt
=-\Bigint_0^{\infty}K_1'(s)ds\left(sK_2(s)-\Bigint_0^sK_2(t)dt\right)-\Bigint_0^{\infty}K_2'(s)ds\left(sK_1(s)-\Bigint_0^sK_1(t)dt\right)
+\Bigint_{-\infty}^0K_1'(s)ds\left(-sK_2(s)-\Bigint_s^0K_2(t)dt\right)+\Bigint_{-\infty}^0K_2'(s)ds\left(-sK_1(s)-\Bigint_s^0K_1(t)dt\right)
=-\Bigint_{-\infty}^{\infty}sd(K_1(s)K_2(s))=\Bigint_{-\infty}^{\infty}K_1(s)K_2(s)ds


もう、どうにでもしてくれ〜〜、という感じです。
「第４章　フィードバックと振動」でウィーナーはこんなことを書いています。

　本書では数学記号の使用や数学的技巧をできるだけ避けてきたが、ある個所、特に前章*1ではそれらを使わざるを得なかった。本章のこれから後にのべるところでも、ちょうど数学記号が適当な表現手段になっている。それを避けるために長いまわりくどい言いまわしを使っても、専門外の人にはほとんどわからないであろうし、数学記号になれた読者だけが、これらのまわりくどい表現を数学的表現に直すことによって理解できることとなろう。


ウィーナーは、数式を避けて記述しても結局、専門外の人には分からない、そして、数学記号がここでは適切な表現手段であった、と言います。そんなことを言われては第３章を読解する気持ちが萎えてしまいますが、私は、数式以外の日本語の記述をもとに、何とか第３章の概要を読み取っていきたいと思っています。さて、どうなることでしょうか？


「「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（２）」に続きます。

*1:つまり第３章