「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（５）

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前回は式（３）

$\lim_{A\rightar\infty}\frac{1}{A}\Bigint_{-A}^0f(x(t))dt=\Bigint_0^1f(x)dx$ ・・・・・（３）

を導きました。しかしこの式はこのままでは時系列に応用することが出来ません。もうひとひねりが必要です。式（１）〜（３）で考えていた $x(t)$ では、時間の経過に従って $x$ の値が決定されている、という前提に立っています。しかし時系列の特徴は、未来の値が確率的にしか分からない、というものでした。これをどう取り込めばよいのでしょうか？
ここに $\gamma$ というパラメータを導入します。これは点集合 $(0,1)$ の１点を表わし、 $(0,1)$ に一様に分布しているとします。これは１つの確率事象を表わしています。そして $x(t)$ の代わりに $x(t,\gamma)$ を考えます。 $\gamma$ を定めれば $x$ は $t$ の関数として一意に決まります。これは時系列の１つの実現例を示しています。現実には、ある時点 $t$ での $x$ の値が分かったにしても $\gamma$ は観測者には分からないので、 $t+\tau$ 時点での $x$ の値は確率的にしか分かりません。
このような時系列 $x(t)$ がエルゴード的であるというのは、以下のようなことを意味します。

$x(t+\tau,\gamma)=x(t,\Gamma)$ ・・・・・（４）
とおいた場合、からへの変換が測度を保存する。
- つまり、時間の平行移動について時系列の曲線の分布の仕方が変わらない。

ところで（４）は、時刻 $t$ の時には $\gamma$ の位置にあったものが時刻 $t+\tau$ の時には $\Gamma$ の位置に移った、と解釈することも出来ます。そこで $\gamma$ を $\tau$ の関数と考えて、

$\gamma(0)=\gamma$
$\gamma(\tau)=\Gamma$

と考えることも出来ます。このような $\gamma$ に対して関数を考えるとこの関数についてエルゴード定理が成り立ちます。
ここで、 $x(t,\gamma)$ の汎関数 $\Phi\{x(t,\gamma)\}$ を考えます。つまり、 $t$ が $-\infty$ から $\infty$ までの $x(t,\gamma)$ の全歴史に関係して決まる数であるとします。 $\Phi\{x(t,\gamma)\}$ は $t$ を固定して $\gamma$ を $\gamma(\tau)$ とみなせば、

$\Phi\{x(t,\gamma(\tau))\}$

となり $\gamma$ の関数と考えることになります。よってエルゴード定理を適用することが出来、式（３）に対応した

$\lim_{A\rightar\infty}\frac{1}{A}\Bigint_{-A}^0\Phi\{x(t,\gamma(\tau))\}d\tau=\Bigint_0^1\Phi\{x(t,\gamma)\}d\gamma$ ・・・・・（５）

が成り立ちます。ところで左辺の

$x(t,\gamma(\tau))$

は

$x(t,\gamma(\tau))=x(t,\Gamma)=x(t+\tau,\gamma)$

と変形出来るので（５）は

$\lim_{A\rightar\infty}\frac{1}{A}\Bigint_{-A}^0\Phi\{x(t+\tau,\gamma)\}d\tau=\Bigint_0^1\Phi\{x(t,\gamma)\}d\gamma$ ・・・・・（６）

となります。式（６）の右辺は、さまざまな時刻における $x$ の値によって決まる量の集合平均を意味しています。このような量を統計パラメータと呼んでいます。この統計パラメータは（６）の右辺のように、ある特定の実現例（つまり、 $\gamma$ を固定したもの）の過去から現在までの時間平均として求めることが出来ます。
以前「「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（９）」で私は

「第３章　時系列、情報および通信」でウィーナーが通信の理論を展開する時に、このエルゴード理論の枠組みが奇妙な形で再利用されます。それによって通信工学と統計力学の奇妙な並行関係が現れてきます。これがウィーナーの主張したいことの一つです。

と書きましたが、ここがその「再利用」の場の一つです。もう一つの場は、ウィーナー過程から導出されたもっと具体的な時系列を扱うところ（「「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（９）」）です。

ウィーナーは書きます。

ある一つの時系列が、統計的平衡にある一つの集合(ensemble)に属することが知られ、かつその時系列の現在にいたるまでの歴史全部が与えられているとする。そうすればその時系列の属する統計的平衡にある集合の統計的パラメターのどれでも、誤差の確率０で計算することができるのである。

「「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（６）」に続きます。