工場統計力学（建設中！）

つなぎの式の導出（３）

待ち行列理論

「つなぎの式の導出（２）」の続きです。

「つなぎの式の導出（２）」でＧＩ／Ｇ／１についてのつなぎの式（１）

$c_d^2{\approx}u^2c_e^2+(1-u^2)c_a^2$ ・・・・・（１）

をＧＩ／Ｇ／ｍの場合に拡張したという

$c_d^2{\approx}1+(1-u^2)(c_a^2-1)+\frac{u^2}{sqrt{m}}(c_e^2-1)$ ・・・・・（４）

を導く方法が分からない、と書きました。未だに完全には分かっていないのですが、少しだけ分かったことがあるので、それを書きます。

それは、式（４）は２つの仮定が成り立っている、という推定です。それは

仮定Ａ
- の時、ＧＩ／Ｇ／ｍからの出発過程の変動係数は以下の式で近似される。
  - $c_e(m)^2{\approx}1+\frac{1}{sqrt{m}}(c_e^2-1)$ ・・・・・（１８）
  - 式（１８）でとすると
    - $c_e(1)^2{\approx}c_e^2$
  - となることに注意。
仮定Ｂ
- ＧＩ／Ｇ／ｍにおけるの近似式は（１）と同じ形の式になる。ただし（１）におけるをにおきかえる。つまり
  - $c_d^2{\approx}u^2c_e(m)^2+(1-u^2)c_a^2$ ・・・・・（１９）

これらの２つの仮定の妥当性はこれから検討していきます。これら２つの仮定を認めてしまうと、式（１９）に式（１８）を代入して

- $=1-(1-u^2)+\frac{u^2}{sqrt{m}}(c_e^2-1)+(1-u^2)c_a^2=1+(1-u^2)(c_a^2-1)+\frac{u^2}{sqrt{m}}(c_e^2-1)$

よって、（４）が導かれます。

次に、仮定Ａ、Ｂの妥当性はどうかということが問題になります。
まず仮定Ａから考えていきます。 $u=1$ の時の出発過程というのは、処理時間が連続して続く過程、つまり変動係数が $c_e$ の再生過程を $m$ 個、重ね合わせたものになります。（図４参照）

図４

ここで重要な仮定をします。仮定Ａを支えることになる重要な仮定です。

仮定Ｃ
- 再生過程を $m$ 個、重ね合わせて出来た系列の変動係数は、元の再生過程の変動係数 $c_e$ と重ね合わせの数 $m$ のみの関数である。

たぶん、この仮定は厳密には正しくないのでしょう。変動係数以外にももっと高次のモーメントが重ね合わされた系列の変動係数に寄与している可能性があります。
しかし、あとで述べるように近似的にはこの仮定は成り立っているようです。この仮定の正当性は、このあとの結果を見てからの判断ということになります。

上の仮定から重ね合わせて出来た系列の変動係数の２乗 $c_e(m)^2$ を $c_e^2$ と $m$ の関数と考えて

$c_e(m)^2=f(c_e^2,m)$ ・・・・・（２０）

と置きます。（２０）をテイラー展開して

$c_e(m)^2=\Bigsum_{i=0}^{\infty}a(m,i)c_e^{2i}$

と表わすことが出来ます。しかし、一般性を失わずに $c_e^2-1$ の多項式でテイラー展開して表わすことも出来ます。

$c_e(m)^2=\Bigsum_{i=0}^{\infty}b(m,i)(c_e^2-1)^i$ ・・・・・（２１）

ポアソン過程を $m$ 個重ね合わせた系列は、「ポアソン過程の合流と分岐」の合流の個所で述べたように、またポアソン過程になります。これは式（２１）に当てはめると、 $c_e^2=1$ ならば任意の $m$ について $c_e(m)^2=1$ が成り立つ、ということを意味します。このことから

$b(m,0)=1$ ・・・・・（２２）

でなければならないことが言えます。よって（２１）は

$c_e(m)^2=1+\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(m,i)(c_e^2-1)^i$ ・・・・・（２３）

次に、（２３）を変形して以下の形にします。

$c_e(m)^2-1=\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(m,i)(c_e^2-1)^i$ ・・・・・（２４）

ここで、合成された系列をさらに $n$ 個重ね合わせた系列を考えます。この系列は最初の系列を $nm$ 個重ね合わせたものと考えることも出来ますので、その変動係数を $c_e(nm)$ で表わします。この考え方、つまり最初の系列を $nm$ 個重ね合わせたものと考えれば、

$c_e(nm)^2-1=\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(nm,i)(c_e^2-1)^i$ ・・・・・（２５）

となります。また、この系列を、変動係数 $c_e(m)$ を持つ系列を $n$ 個重ね合わせたものと考えると

$c_e(nm)^2-1=\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(n,i)(c_e(m)^2-1)^i$ ・・・・・（２６）

となります。式（２６）に（２４）を代入すると

$c_e(nm)^2-1=\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(n,i)\left[\Bigsum_{j=1}^{\infty}b(m,j)(c_e^2-1)^j\right]^i$ ・・・・・（２７）

よって（２５）と（２７）から

$\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(nm,i)(c_e^2-1)^i=\Bigsum_{i=1}^{\infty}b(n,i)\left[\Bigsum_{j=1}^{\infty}b(m,j)(c_e^2-1)^j\right]^i$ ・・・・・（２８）

任意の $c_e^2-1$ について式（２８）が成り立つためには

$i{\ge}2$ の時、 $b(m,i)=0$ ・・・・・（２９）

である必要があります（正直言って、ここは少し自信がありません）。そうすると、式（２８）は

$b(nm,1)(c_e^2-1)=b(n,1)b(m,1)(c_e^2-1)$

となり

$b(nm,1)=b(n,1)b(m,1)$ ・・・・・（３０）

となります。式（３０）が成り立つためには

$b(m,1)=Cm^x$ ・・・・・（３１）

の形である必要があります。ただし $C,x$ は定数です。（２９）（３１）を（２３）に代入すると

$c_e(m)^2=1+Cm^x(c_e^2-1)$ ・・・・・（３２）

さらに、

$c_e(1)^2=c_e^2$

でなければならないので、（３２）に $m=1$ を代入して

$c_e(1)^2=1+Cc_e^2-C=Cc_e^2+1-C$

よって

$C=1$

よって

$c_e(m)^2=1+m^x(c_e^2-1)$ ・・・・・（３３）

残念ながらこの考察からは $x$ の値を定めることが出来ません。ここより先は具体的な系列を想定しての考察となります。

「つなぎの式の導出（４）」に続きます。