つなぎの式の導出（７） - 工場統計力学（建設中！）

仮定Ｂ

ＧＩ／Ｇ／ｍにおける $c_d^2$ の近似式は（１）

$c_d^2{\approx}u^2c_e^2+(1-u^2)c_a^2$ ・・・・・（１）

と同じ形の式になる。ただし（１）における $c_e^2$ を $c_e(m)^2$ におきかえる。つまり

$c_d^2{\approx}u^2c_e(m)^2+(1-u^2)c_a^2$ ・・・・・（１９）

の正当性を探っていきます。

これは、処理時間の変動係数として $c_e$ を持つＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列を、処理時間の変動係数として $c_e(m)$ を持つＧＩ／Ｇ／１待ち行列で近似する、
ことを意味します。 $c_e(m)$ と $c_e$ の関係は「つなぎの式の導出（３）」の仮定Ａに出てきたように

$c_e(m)^2{\approx}1+\frac{1}{sqrt{m}}(c_e^2-1)$ ・・・・・（１８）

です。また、ここでは顕わに出て来ていませんが、ＧＩ／Ｇ／ｍにおける処理時間の平均値 $t_e$ がＧＩ／Ｇ／１では

$t_e(m)=\frac{t_e}{m}$ ・・・・・（３４）

で置き換えることになります。さもなければＧＩ／Ｇ／ｍとＧＩ／Ｇ／１で装置の利用率が異なってしまいます。

図１０

さてＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列からの出発過程の変動係数が、処理時間の平均値を式（３４）で、そして処理時間の変動係数を式（１８）で、置き換えたＧＩ／Ｇ／１待ち行列からの出発過程の変動係数で近似出来るものでしょうか？
　そのあたりを調べていきます。

$u{\rightar}1$ の時にＧＩ／Ｇ／ｍからの出発過程の変動係数が $c_e(m)$ になることは「つなぎの式の導出（６）」での考察から明らかです。ＧＩ／Ｇ／１でも式（１９）から $u{\rightar}1$ で $c_d^2{\rightar}c_e(m)^2$ になるので両者の $c_d$ は一致します。また、 $u{\rightar}0$ の時にＧＩ／Ｇ／ｍからの出発過程の変動係数は、「つなぎの式の導出（１）」でのＧＩ／Ｇ／１における考察と同様に考えれば $c_d{\rightar}c_a$ になることが分かります。式（１９）でも $u{\rightar}0$ で $c_d^2{\rightar}c_a^2$ になるので両者の $c_d$ は一致します。
このように $u{\rightar}1$ の時、 $u{\rightar}0$ の時に両者は一致するのですが、そうでない場合、たとえば $u=0.5$ 付近では両者の値が近いのかどうかはよく分かりません。 $u=0.5$ 付近の場合に図１０のようにＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列をＧＩ／Ｇ／１待ち行列で近似することの正当な理由をいろいろと考えてみましたが、理由付けになるようなものを見つけることが出来ませんでした。

中途半端ですが、これで「つなぎの式の導出」を終わります。