閉鎖型ジャクソンネットワークの積形式解（２）

同様に

$\frac{m_Nu_N}{\min(1,m_N)} \frac{m_Nu_N}{\min(2,m_N)}\:\cdots\:\frac{m_Nu_N}{\min(k_N-1,m_N)} \frac{m_Nu_N}{\min(k_N,m_N)}=\frac{1}{p_{0N}}p\{M/M/m_N,u_N\}(k_N)$ ・・・・・（８）

ところで、 $p(\vec~w)$ はネットワークの構成とジョブ数 $S$ が定まれば定まる値です。ネットワークの構成とジョブ数 $S$ が定まれば $u_1$ も定まります。また、 $m_1$ はネットワーク構成情報の一部であるので、これもネットワーク構成が定まれば定まります。よってネットワークの構成とジョブ数 $S$ が定まれば $p\{M/M/m_1,u_1\}(S)$ も定まります。よって

$C_1=\frac{p(\vec~w)}{p\{M/M/m_1,u_1\}(S)}$

で定義する $C_1$ もネットワークの構成とジョブ数 $S$ によって定まる数になります。この式を変形すれば、

$p(\vec~w)=C_1p\{M/M/m_1,u_1\}(S)$

となります。これを用いると

- $= \frac{\min(S,m_1)}{m_1u_1}\frac{\min(S-1,m_1)}{m_1u_1}\:\cdots\:\frac{\min(k_1+2,m_1)}{m_1u_1}\frac{\min(k_1+1,m_1)}{m_1u_1}{\times}C_1p\{M/M/m_1,u_1\}(S)$
- - ${\times}C_1\frac{m_1u_1}{\min(1,m_1)} \frac{m_1u_1}{\min(2,m_1)}\:\cdots\:\frac{m_1u_1}{\min(S-1,m_1)} \frac{m_1u_1}{\min(S,m_1)}p_{01}$
- $=C_1\frac{m_1u_1}{\min(2,m_1)}\:\cdots\:\frac{m_1u_1}{\min(k_1-1,m_1)}\frac{m_1u_1}{\min(k_1,m_1)}p_{01}=C_1p\{M/M/m_1,u_1\}(k_1)$

よって

$\frac{\min(S,m_1)}{m_1u_1}\frac{\min(S-1,m_1)}{m_1u_1}\:\cdots\:\frac{\min(k_1+2,m_1)}{m_1u_1}\frac{\min(k_1+1,m_1)}{m_1u_1}{\times}p(\vec~w)=C_1p\{M/M/m_1,u_1\}(k_1)$ ・・・・・（９）

式（９）（７）（８）を式（６）に代入すると

$p(\vec~k)=C_1p\{M/M/m_1,u_1\}(k_1){\times}\frac{1}{p_{02}p\{M/M/m_2,u_2\}(k){\times}\cdots\times\frac{1}{p_{0N}}p\{M/M/m_N,u_N\}(k_N)}$

よって

$p(\vec~k)=C_1\prod_{i=2}^N\frac{1}{p_{0i}}\Prod_{i=1}^Np\{M/M/m_i,u_i\}(k_i)$ ・・・・・（１０）

ここで

$C=C_1\prod_{i=2}^N\frac{1}{p_{0i}}$

とおけば

$p(\vec~k)=C\prod_{i=1}^Np\{M/M/m_i,u_i\}(k_i)$ ・・・・・（１１）

$C_1$ はネットワークの構成とジョブ数 $S$ によって定まる数であり、また $p_{0i}$ は

$p_{0i}=p\{M/M/m_i,u_i\}(0)$

の意味ですから $m_i$ と $u_i$ によって定まる数なので、 $C$ もネットワークの構成とジョブ数 $S$ によって定まる数となります。

式（１１）を見ると閉鎖型ジャクソンネットワークは個々のステーションをＭ／Ｍ／ｍ待ち行列と考えた場合の状態確率を掛け合わせたものに、定数を掛け合わせたものになっています。これが閉鎖型ジャクソンネットワークの積形式解です。ただし、定数 $C$ は１ではありません。定数 $C$ は全ての状態の確率の和が１になるように定められます。
そして、この定数を求めるのが大変そうです。