7.4.2.1.厳密な解法：Quantitative System Performance - 工場統計力学（建設中！）

「7.4.2.クローズド・モデルの解法」の続きです。（目次はこちら）

7.4.2.1.厳密な解法

　クローズド・モデルの厳密解を得るためには、 $A_{c,k}(\vec{N})$ の値を正確に計算しなければならない。これらの値が与えられると、モデルの解全体を計算するために式(7.1)〜(7.3)を適用出来る。厳密ＭＶＡ解法のキーは単一クラスの場合に用いた関係の複数クラスへの一般化である。

$A_{c,k}(\vec{N})=Q_k(\vec{N-1_c})$ 　(7.4)

ただし $\vec{N-1_c}$ は個体数 $\vec{N}$ からクラス $c$ 客を１個除いたものである。直感的には、センターに到着時に見られる待ち行列長は到着する客をネットワークから除いたセンターでの時間平均待ち行列長に等しい。
　空の個体数 $\vec{0}$ を持つネットワークのささいな解（全てのセンター $k$ について $Q_k(\vec{0})=0$ ）から始めて、式(7.4)を式(7.1)〜(7.3)と一緒に用いることが出来、増加する個体数についての解を繰り返し構築し、ついに興味のある個体数、 $\vec{N}$ についての性能尺度に到達する。一般に、個々の個体数 $\vec{n}$ についての解は、入力として $C$ 個の解を、各々の個体数 $\vec{n-1_c}$ について１個で、 $c=1,...,C$ 、を要求することに注意しよう。図７．３は、３つのクラスＡ客と２つのクラスＢ客を持つネットワークを評価するのに必要な解の順序関係を示すことでこれを図示したものである。つまり、空のネットワークの解は１個の客からなる個体数、(1A,0B)と(0A,1B)を持つ解を計算するのに必要であり、次にそれらは２個の客を持つ個体数についての解を計算するのに用いることが出来る、など、である。これらの複雑な依存関係の結果として、複数クラスのアルゴリズムの時間とスペースの要求は単一クラス・アルゴリズムのそれよりずっと大きい。それは以下に比例する。

時間： $CK\prod_{c=1}^C(N_c+1)$ 　回の算術演算

スペース： $K\prod_{c=1,c\neq{c_{max}}}^C(N_c+1)$ 　保存場所

ただし $c_{max}$ は最も大きい個体数を持つクラスの指標である。これらの時間とスペース要求の顕著な意味合いは、客クラスが数個より多いネットワークの厳密な解を計算するのは実用的ではないで可能性があるということである。例えば、１０個のセンターとそれぞれ１０個の客を持つ５クラスを持つネットワークの解は、8,000,000回以上の算術演算と145,000個以上の保管場所を要求する。（対照的に、１０個のセンターと５０個の客を持つ単一クラス・モデルは約500回の算術演算と１０個の保管場所を要求する。）　これは次のセクションで近似の解法を説明する動機である。

図７．３　中間解の順序

for $k\leftar{1}$ to $K$ do $Q_k(\vec{0})\leftar{0}$

for $n\leftar{1}$ to $\Bigsum_{c=1}^CN_c$ do

全部で $n$ 個の客がある個々の可能な個体数 $\vec{n}\equiv(n_1,...,n_C)$ について do

begin

for $c\leftar{1}$ to $C$ do

for $k\leftar{1}$ to $K$ do

ディレイならば、 $R_{c,k}\leftar{D_{c,k}}$

キューイングならば、 $R_{c,k}{\leftar}D_{c,k}\left[1+Q_k(\vec{n-1_c})\right]$

for $c\leftar{1}$ to $C$ do $X_c{\leftar}\frac{n_c}{Z_c+\Bigsum_{k=1}^KR_{c,k}}$

for $k{\leftar}1$ to $K$ do $Q_k(\vec{n})\leftar\Bigsum_{c=1}^CX_cR_{c,k}$

end

アルゴリズム７．２　厳密ＭＶＡ解法（クローズド・モデル）

　厳密なＭＡＶ解法をアルゴリズム７．２に示す。このアルゴリズムが終了する時、 $R_{c,k}$ 、 $X_c$ 、 $Q_k$ の値（全て個体数 $\vec{N}$ について）は即座に使用可能である。他のモデル出力はリトルの法則を用いて得られる。以下がまとめである。

クラス $c$ システム・スループット： $X_c$

クラス $c$ システム応答時間： $N_c/X_c-Z_c$

システム内のクラス $c$ の数の平均： $N_c-X_cZ_c$

デバイス $k$ でのクラス $c$ のスループット： $X_cV_{c,k}$

デバイス $k$ でのクラス $c$ の待ち行列長： $X_cR_{c,k}$

デバイス $k$ でのクラス $c$ の滞在時間： $R_{c,k}$

クローズド・モデルの例（厳密解）
　表７．３に図７．２のオープン・モデルに対応するクローズド・モデルのＭＶＡ解法で必要な計算を示す。オープン・クラスは各々が１個の客を持つバッチ・クラスに置き換えられる。他のパラメータの値は同じである。

表７．３　厳密ＭＶＡ計算

「7.4.2.2.近似の解法」に続きます。