20.3.複数クラス・モデル：Quantitative System Performance

「20.2.単一クラス・モデル」の続きです。（目次はこちら）

20.3.複数クラス・モデル

　我々は $K$ 個のサービスセンターと $C$ 種類の客クラスを持つモデルを考察する。複数クラス・モデル内のサービスセンターが負荷依存の振舞いを示す２つの仕方がある。

より簡単な形式は、全てのクラスの処理レートがそのセンターでの客の総数の関数として同一の仕方で変化するというものである。例えば、特定のセンターが（任意のクラスの）客を４つを持つ時のそのセンターでのクラス $A$ の処理レートが、そのセンターが２つの客を持つ時のクラス $A$ の処理レートの１．５倍であるとしよう。すると負荷依存のこのより簡単な方式は、そのセンターが４つの客を持つ時のクラス $B$ の処理レートが２つの客を持つ時のそのレートの１．５倍であることを要求する。

負荷依存のより複雑な形式は、ＦＥＳＣの実装のために要求されるが、クラスの処理レートが互いに独立に変わり、センターでの客の総数のではなくてそこの客の実際のミックスの関数であることを許す。（この場合、処理センターは第８章で検討した仮想的な合成キューイング規律を用いてスケジュールされる。）

　負荷依存の最初の形式から始めよう。処理レート $\mu_{c,k}(j)$ はクラス $c$ 客が仮に単独で処理中であり（つまり、他のクラスの全ての客が処理中ではなくて待っており）そのセンターに全部で $j$ 個の客が存在した場合のセンター $k$ で完了するレートを示す。（やはり、これらは１訪問あたりのレートである。）　負荷依存のこの形式について、負荷独立ＭＶＡへの修正は単一クラスの場合に用いた修正の単純な拡張である。モデルの個体数が $\vec{n}\equiv(n_1,n_2,...,n_C)$ であるとしよう。すると $n\equiv\Bigsum_{c=1}^Cn_c$ がモデル内の客の総数である。次に負荷依存センターについてステップ１と３を以下で置き換える。
１’。負荷依存センター $k$ での滞在時間を計算する。

$R_k(\vec{n})=V_{c,k}\Bigsum_{j=1}^n\frac{j}{\mu_{c,k}(j)}p_k(j-1|\vec{n-1_c})$

ただし $V_{c,k}$ は個々のクラス $c$ 客がセンター $k$ を訪問する回数である。

３’。負荷依存センター $k$ についての待ち行列長分布を計算する。

$j=1,...,n$ について

$p_k(j|\vec{n})=\Bigsum_{c=1}^C\frac{X(n)}{\mu_{c,k}(j)}p_k(j-1|\vec{n-1_c})$

$j=0$ について

$p_k(j|\vec{n})=1-\Bigsum_{j=1}^np_k(j|\vec{n})$

　さて負荷依存の２番目の形式を考察しよう。そこでは個々のクラスの処理レートがセンターに存在する個々のクラスの客数に依存しているのであった。（セクション8.4で説明したように、レートのあるそのような集合のみが有効である。詳細はそのセクションで見ることが出来る。）
　 $\vec{n}$ がモデルの客個体数であるとし、 $\vec{n_k}\equiv(n_{1,k},n_{2,k},...,n_{C,k})$ がセンター $k$ での客個体数であるとしよう。ただし $n_{c,k}$ はセンター $k$ でのクラス $c$ 客の数である。センター $k$ でのクラス $c$ の負荷依存処理レートは $\mu_{c,k}(\vec{n_k})$ で表される。負荷依存のより簡単な形式の場合と同様に、このタイプのセンターについてのＭＶＡアルゴリズムは負荷依存アルゴリズムのステップ１と３の新しい式への置き換えを含む。
１’。負荷依存センター $k$ での滞在時間を計算する。

$R_k(\vec{n})=V_{c,k}\Bigsum_{all\:\vec{n_k}}\frac{n_{c,k}}{\mu_{c,k}(\vec{n_k})}p_k(\vec{n_k-1_{c,k}}|\vec{n-1_c})$

ただし $V_{c,k}$ は個々のクラス $c$ 客がセンター $k$ を訪問する回数である。

３’。負荷依存センター $k$ についての待ち行列長分布を計算する。

$\vec{n_k}>\vec{0}$ について

$p_{c,k}(\vec{n_k}|\vec{n})=\frac{X_c(\vec{n})}{\mu_{c,k}(\vec{n_k})}p_k(\vec{n_k-1_{c,k}}|\vec{n-1_c})$

$\vec{n_k}=\vec{0}$ について

$p_{c,k}(\vec{n_k}|\vec{n})=1-\Bigsum_{all\:\vec{n_k}>\vec{0}}p_k(\vec{n_k}|\vec{n})$

「20.4.プログラムの実装」に続きます。