故障を考慮した装置処理時間の平均値と変動係数（２）

Factory Physics

「故障を考慮した装置処理時間の平均値と変動係数（１）」の続きです。
式（５）で実効処理時間t_{ins}の平均は t_e=\frac{t_0}{A}であることが分かりました。今度は、その平均との差の２乗の平均、つまり

  • \left(t_{ins}-\frac{t_0}{A}\right)^2

の平均を求めることにします。これが実効処理時間t_{ins}の標準偏差の２乗\sigma_0^2になります。
まず、tとkを固定して考えます。

  • t_{ins}=t+t_{r1}+\cdots+t_{rk}

ですので

  • t_{ins}-\frac{t_0}{A}=t+t_{r1}+\cdots+t_{rk}-\frac{t_0}{A}
    • =t+(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)-\frac{t_0}{A}+k{\cdot}MTTR

よって

  • \left(t_{ins}-\frac{t_0}{A}\right)^2
    • =\left(t-\frac{t_0}{A}+k{\cdot}MTTR\right)^2
    • +2\left(t-\frac{t_0}{A}+k{\cdot}MTTR\right)\{(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)\}
    • +\{(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)\}^2・・・・・（６）

ここで

  • (t_{ri}-MTTR)

の平均はゼロなので

  • 2\left(t-\frac{t_0}{A}+k{\cdot}MTTR\right)\{(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)\}

の平均はゼロ。また

  • \{(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)\}^2
    • =\Bigsum_{i=1}^k(t_{ri}-MTTR)^2+2\Bigsum_{i=1}^k\Bigsum_{j=1,i{\neq}j}^k(t_{ri}-MTTR)(t_{rj}-MTTR)

なので、ここでも

  • (t_{ri}-MTTR)

の平均はゼロということを用いれば

  • \{(t_{r1}-MTTR)+\cdots+(t_{rk}-MTTR)\}^2

の平均は

  • \Bigsum_{i=1}^k(t_{ri}-MTTR)^2

の平均となり、結局

  • k\sigma_r^2

となります。ただし\sigma_rはt_rの標準偏差です。
よってtとkを固定した時の

  • \left(t_{ins}-\frac{t_0}{A}\right)^2

の平均を\{\sigma_e(t.k)\}^2で表せば（６）から

  • \{\sigma_e(t.k)\}^2=\left(t-\frac{t_0}{A}+k{\cdot}MTTR\right)^2+k\sigma_r^2・・・・・（７）


よって、 \{\sigma_e(t,k)\}^2のkについての平均を \{\sigma_e(t)\}^2とすると、式（７）とポアソン分布を考慮して、

  • \{\sigma_e(t)\}^2=\Bigsum_{k=1}^\infty\left[\left\{k\sigma_r^2+\left(k{\cdot}MTTR+t-\frac{t_0}{A}\right)^2\right\}{\times}\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}\right]
    • =\Bigsum_{k=1}^\infty\left[\left\{k\sigma_r^2+k^2MTTR^2+2km_r\left(t-\frac{t_0}{A}\right)+\left(t-\frac{t_0}{A}\right)^2\right\}\times\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}\right]
    • =\sigma_r^2\Bigsum_{k=1}^\infty{k}\frac{\lambda}{k!}\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}+MTTR^2\Bigsum_{k=1}^\infty{k^2}\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}
    • +2MTTR\left(t-\frac{t_0}{A}\right)\Bigsum_{k=1}^\infty{k}\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}+\left(t-\frac{t_0}{A}\right)^2\Bigsum_{k=1}^\infty\frac{\lambda}{k!}e^{-\lambda}・・・・・（８）


ここで

  • \Bigsum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}{\times}e^{\lambda}=1・・・・・（９）
  • \Bigsum_{k=0}^\infty{k}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=0}^\infty{k}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=1}^\infty{k}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=1}^\infty\frac{\lambda^k}{(k-1)!}
    • =e^{-\lambda}\Bigsum_{k=0}^\infty\lambda\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\lambda\Bigsum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\lambda{e}^\lambda=\lambda・・・・・（１０）
  • \Bigsum_{k=0}^\infty{k^2}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=0}^\infty{k^2}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=1}^\infty{k^2}\frac{\lambda^k}{k!}
    • =e^{-\lambda}\Bigsum{k=1}^\infty{k}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}=e^{-\lambda}\Bigsum_{k=0}^\infty\lambda(k+1)\frac{\lambda^k}{k!}
    • =\lambda\left(\Bigsum_{k=0}^\infty{k}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}+\Bigsum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\right)=\lambda(\lambda+1)・・・・・（１１）

であるので、これらを式（８）に代入して

  • \{\sigma_e(t)\}^2=\sigma_r^2\lambda+MTTR^2\lambda(\lambda+1)+2MTTR\left(t-\frac{t_0}{A}\right)\lambda+\left(t-\frac{t_0}{A}\right)^2


さらに（１）を代入して

  • \{\sigma_e(t)\}^2
    • =\sigma_r^2\frac{t}{MTBF}+MTTR^2\frac{t}{MTBF}\left(\frac{t}{MTBF}+1\right)
      • +2MTTR\left(t-\frac{t_0}{A}\right)\frac{t}{MTBF}+\left(t-\frac{t_0}{A}\right)^2
    • =\frac{\sigma_r^2}{MTBF}t+\frac{MTTR^2}{MTBF^2}t^2+\frac{MTTR^2}{MTBF}t+\frac{2MTTR}{MTBF}t^2
      • -\frac{2MTTRt_0}{A{\cdot}MTBF}t+t^2-\frac{2t_0}{A}+\frac{t_0^2}{A^2}
    • =\left(1+\frac{2MTTR}{MTBF}+\frac{MTTR^2}{MTBF^2}\right)t^2-\frac{2t_0}{A}\left(1+\frac{MTTR}{MTBF}\right)t+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t+\frac{t_0^2}{A^2}
    • =\left(1+\frac{MTTR}{MTBF}\right)^2t^2-\frac{2t_0}{A}\left(1+\frac{MTTR}{MTBF}\right)t+\frac{t_0^2}{A^2}+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t
    • =\left[\left(1+\frac{MTTR}{MTBF}\right)t-\frac{t_0}{A}\right]^2+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t
    • =\left(\frac{MTBF+MTTR}{MTBF}t-\frac{t_0}{A}\right)^2+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t
    • =\left(\frac{t}{A}-\frac{t_0}{A}\right)^2+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t=\frac{1}{A^2}(t-t_0)^2+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t・・・・・（１２）

これをtで平均をとって

  • \sigma_e^2=\frac{\sigma_0^2}{A^2}+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t_0・・・・・（１３）

一方

  • \frac{1-A}{A}=\frac{1-\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}}{\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}}=\frac{MTBF+MTTR-MTBF}{MTBF}=\frac{MTTR}{MTBF}

なので

  • \frac{1-A}{A{\cdot}MTTR}=\frac{1}{MTBF}・・・・・（１３）

これを式（１２）に代入して

  • \sigma_e^2=\frac{\sigma_0^2}{A^2}+\frac{\sigma_r^2+MTTR^2}{MTBF}t_0=\left(\frac{\sigma_0}{A}\right)^2+\frac{(MTTR^2+\sigma_r^2)(1-A)t_0}{A{\cdot}MTTR}

一方

  • c_e^2=\frac{\sigma_e^2}{t_e^2}

なので

  • c_e^2=\left(\frac{\sigma_0}{A}\right)^2\frac{1}{t_e^2}+\frac{(MTTR^2+\sigma_r^2)(1-A)t_0}{A{\cdot}MTTR}\frac{1}{t_e^2}
    • =\left(\frac{\sigma_0}{A}\right)^2\frac{A^2}{t_0^2}+\frac{(MTTR^2+\sigma_r^2)(1-A)t_0}{A{\cdot}MTTR}\frac{A^2}{t_0^2}
    • =c_0^2+\frac{(MTTR^2+\sigma_r^2)(1-A)A}{t_0{\cdot}MTTR}=c_0^2+(1+c_r^2)A(1-A)\frac{MTTR}{t_0}

つまり

  • c_e^2=c_0^2+(1+c_r^2)A(1-A)\frac{MTTR}{t_0}

これで求めるべきもう一つの式を求めることが出来ました。