Πを使ってＭ／Ｇ／ｍの平均待ち行列長を表す

$\Pi$ についてもう少し見ていきましょう。

Ｍ／Ｍ／ｍの場合

まずＭ／Ｍ／ｍ待ち行列を考えます。この時の平均待ち時間 $CT_q$ は「待ち行列理論の私的総論」で紹介しましたように

・・・・・（１）
- ただし
- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m} {m!(1-u)}}$ ・・・・・（２）

でした。一方、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち確率Πの近似」では、

$\Pi=\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}p_0$ ・・・・・（３）

という式を導き出しました。（１）と（３）から

$CT_q=\frac{\Pi}{(1-u)m}t_e$ ・・・・・（４）

が導き出されます。さらに、平均待ち行列長 $L_q$ は、リトルの法則を用いれば、 $L_q$ がＷＩＰに、 $CT_q$ がサイクルタイムに当たり、さらにスループットは

$\frac{mu}{t_e}$ ・・・・・（５）

であることが（少し考えれば）分かるので、

$L_q=CT_q{\times}\frac{mu}{t_e}$ ・・・・・（６）

これに（４）を代入して

$L_q=\frac{\Pi}{(1-u)m}t_e{\times}\frac{mu}{t_e}=\frac{{\Pi}u}{(1-u)}$

よって

$L_q=\frac{{\Pi}u}{(1-u)}$ ・・・・・（７）

となります。この（４）と（７）は近似式ではないことに注意して下さい。

Ｍ／Ｇ／ｍの場合

さて、今度は上の話をＭ／Ｇ／ｍ待ち行列に拡張します。この待ち行列の平均待ち時間 $CT_{qG}$ は（今までのＭ／Ｍ／ｍの場合の平均待ち時間 $CT_q$ と区別するためにこの記号で表すことにします。）、「待ち行列理論の私的総論」で紹介したリー・ロントンの近似式によれば、

$CT_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}CT_q$ ・・・・・（８）

になります。ここで式（４）を用いれば

$CT_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}\frac{\Pi}{(1-u)m}t_e$ ・・・・・（９）

になることが分かります。さらに平均待ち行列長 $L_{qG}$ はＭ／Ｍ／ｍの時と同様にリトルの法則を用いれば、

$L_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi}u}{(1-u)}$ ・・・・・（１０）

になることが分かります。この（９）と（１０）における $\Pi$ はＭ／Ｍ／ｍにおける待ち確率でしたが、「Ｍ／Ｇ／ｍにおける待ち確率Πの近似」で紹介したようにＭ／Ｇ／ｍにおける待ち確率（これを $\Pi_G$ で表しましょう）もこの $\Pi$ に非常に近い値でした。ということは式（９）（１０）における $\Pi$ を $\Pi_G$ に置き換えることが出来て

$CT_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}\frac{\Pi_G}{(1-u)m}t_e$ ・・・・・（１１）
$L_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi_G}u}{(1-u)}$ ・・・・・（１２）

となります。