Ｍ／Ｇ／ｍの定常状態分布の近似式

待ち行列理論

「Πを使ってＭ／Ｇ／ｍの平均待ち行列長を表す」の続きです。
さて、ここまでくると以前「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」で紹介した近似式の装置m台へｎ拡張を考えることが出来ます。
待ち行列内にジョブがk個ある確率をp(k)で表すことにします。ただしここでは[tex:k

  • p(k){\approx}b^{k-m}p(m)・・・・・（１）

で近似出来ると仮定します。
遅れ確率\Pi_Gの定義から

  • \Pi_G=\Bigsum_{k=m}^{\infty}p(k)・・・・・（２）

これに（１）を代入して

  • \Pi_G{\approx}\Bigsum_{k=m}^{\infty}b^{k-m}p(m)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}b^kp(m)=\frac{p(m)}{1-b}

よって

  • \Pi_G{\approx}\frac{p(m)}{1-b}・・・・・（３）

またL_{qG}は定義から

  • L_{qG}=\Bigsum_{k=m}^{\infty}(k-m)p(k)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}kp(k+m)

ここに（１）を代入して

  • L_{qG}{\approx}\Bigsum_{k=0}^{\infty}kb^kp(m)・・・・・（４）

ここで「補足」の式（２）を用いれば

  • \Bigsum_{k=0}^{\infty}kb^kp(m)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^kp(m)=bp(m)\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^{k-1}=bp(m)\frac{1}{(1-b)^2}=\frac{bp(m)}{(1-b)^2}

よって

  • L_{qG}{\approx}\frac{bp(m)}{(1-b)^2}・・・・・（５）

ここで「Πを使ってＭ／Ｇ／ｍの平均待ち行列長を表す」の式（１２）（ここでは式（６）とする）

  • L_{qG}\approx\frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi_G}u}{(1-u)}・・・・・（６）

を用いれば

  • \frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi_G}u}{(1-u)}{\approx}\frac{bp(m)}{(1-b)^2}

ここで式（３）を用いれば

  • \frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi_G}u}{(1-u)}{\approx}\frac{b\Pi}{1-b}

よって

  • \frac{1+c_e^2}{2}\frac{{\Pi_G}u}{(1-u)}{\approx}\frac{b\Pi}{1-b}

ここで

  • \Pi_G{\approx}\Pi・・・・・（７）

であることを用いれば

  • \frac{1+c_e^2}{2}\frac{u}{(1-u)}{\approx}\frac{b}{1-b}

よって

  • \frac{2(1-u)}{(1+c_e^2)u}{\approx}\frac{1-b}{b}
  • \frac{2(1-u)}{(1+c_e^2)u}{\approx}\frac{1}{b}-1
  • \frac{1}{b}{\approx}\frac{2(1-u)}{(1+c_e^2)u}+1
  • \frac{1}{b}{\approx}\frac{2(1-u)+(1+c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}
  • \frac{1}{b}{\approx}\frac{2-2u+u+c_e^2u}{(1+c_e^2)u}
  • \frac{1}{b}{\approx}\frac{2-(1-c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}

よって

  • b{\approx}\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}・・・・・（８）

これでbが求まりました。


次にp(m)については式（３）に式（８）を代入して

  • \Pi_G{\approx}\frac{p(m)}{1-\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}}

よって

  • \Pi_G{\approx}\frac{p(m)(2-(1-c_e^2)u)}{2-(1-c_e^2)u-(1+c_e^2)u}
  • \Pi_G{\approx}\frac{p(m)(2-(1-c_e^2)u)}{2-2u}
  • \Pi_G{\approx}\frac{p(m)(2-(1-c_e^2)u)}{2(1-u)}
  • p(m){\approx}\frac{2(1-u)\Pi_G}{2-(1-c_e^2)u}・・・・・（９）

ここで式（７）を用いれば

  • p(m){\approx}\frac{2(1-u)\Pi}{2-(1-c_e^2)u}・・・・・（１０）


よってk{\ge}mの場合

  • p(k){\approx}b^{k-m}p(m)・・・・・（１１）
    • ただし
    • b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}・・・・・（１２）
    • p(m)=\frac{2(1-u)\Pi}{2-(1-c_e^2)u}・・・・・（１３）


さらに式（１３）の\Piは「Ｍ／Ｍ／ｍにおける遅れ確率Πの近似」で紹介した近似式

  • \Pi{\approx}u^{\sqrt{2(m+1)}-1}・・・・・（１４）

で計算することが出来ます。