ガンマ関数

確率論

ガンマ関数\Gamma(x)は、正の実数xについて

  • \Gamma(x)=\Bigint_0^{\infty}s^{x-1}e^{-s}ds・・・・（１）

で定義され、階乗を実数に拡張したものです。具体的に言いますと正の整数nについて

  • \Gamma(n)=(n-1)!・・・・（２）

が成り立つ、ということです。では、このことを確かめておきます。


  • \Gamma(1)=\Bigint_0^{\infty}s^0e^{-s}ds=\Bigint_0^{\infty}e^{-s}ds=\left[-e^{-s}\right]_0^{\infty}=0-(-1)=1

よって

  • \Gamma(1)=1・・・・（３）

一方、

  • (1-1)!=0!=1

なので、n=1の時、式（２）は成り立ちます。
次に、任意の正の整数nについて

  • \Gamma(n+1)=\Bigint_0^{\infty}s^ne^{-s}ds=\left[s^n(-e^{-s})\right]_0^{\infty}-\Bigint_0^{\infty}ns^{n-1}(-e^{-s})ds
    • =0-0-\Bigint_0^{\infty}ns^{n-1}(-e^{-s})ds=n\Bigint_0^{\infty}s^{n-1}e^{-s}ds=n\Gamma(n)

よって

  • \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)・・・・（４）

よって、n=kの時に（２）が成立すると仮定すると

  • \Gamma(k)=(k-1)!・・・・（５）

（４）と（５）から

  • \Gamma(k+1)=k\Gamma(k)=k(k-1)!=k!=((k+1)-1)!

よってn=k+1の時も式（２）が成り立つ。よって数学的帰納法から、任意の正の整数nについて（２）が成り立つ。以上で（２）を証明することが出来ました。


ところで式（４）の導出を見直すと、任意の正の実数xについても成立することが分かるので、任意の正の実数xについて

  • \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)・・・・（６）

が成り立ちます。