工場統計力学（建設中！）

条件付き期待値の定理（２）

確率論

では昨日の「条件付き期待値の定理」での

$E[Y]=E[E[Y|N] ]$ ・・・・(1)

の証明をを、 $Y$ が連続確率変数の場合に拡張します。

条件確率の定義により

[tex:Pr\{y{\le}Y

ここで $y$ の確率密度関数

[tex:f(y)=Pr\{y{\le}Y

を考えます。さらに $N=n$ という条件下での $y$ の確率密度関数

[tex:f(y|N=n)=Pr\{y{\le}Y

を考えます。さらに $Y$ と $N$ の結合確率密度関数

[tex:g(y;n)=Pr\{y{\le}Y

を考えます。
そうすると条件確率の定義(2)は以下のようになります。

$f(y|N=n)dy=\frac{g(y;n)dy}{Pr\{N=n\}$

よって

$f(y|N=n)=\frac{g(y;n)}{Pr\{N=n\}$ ・・・・(6)

になります。よって

$g(y;n)=f(y|N=n)Pr\{N=n\}$ ・・・・(7)

ところで

[tex:Pr\{y{\le}Y

となります。ただし、 $\Bigsum$ は $N$ のとる可能な値全てについての和をとります。(8)に(3)と(5)を用いると

$f(y)dy=\Bigsum_{n}g(y;n)dy$

よって

$f(y)=\Bigsum_{n}g(y;n)$ ・・・・(9)

となります。(9)に(7)を代入して

$f(y)=\Bigsum_{n}f(y|N=n)Pr\{N=n\}$ ・・・・(10)

となります。ところで $E[Y|N=n]$ は定義から

$E[Y|N=n]=\Bigint_{-\infty}^{\infty}yf(y|N=n)dy$ ・・・・(11)

です。また $E[E[Y|N] ]$ は、これも定義から

$E[E[Y|N] ]=\Bigsum_nE[Y|N=n]Pr\{N=n\}$ ・・・・(12)

となります。これも $\Bigsum$ は $N$ のとる可能な値全てについての和をとります。
(12)に(11)を代入すると

$E[E[Y|N] ]=\Bigsum_n\Bigint_{-\infty}^{\infty}yf(y|N=n)dyPr\{N=n\}=\Bigsum_n\Bigint_{-\infty}^{\infty}yf(y|N=n)Pr\{N=n\}dy$

ここで(10)を用いれば

$E[E[Y|N] ]=\Bigint_{-\infty}^{\infty}yf(y)dy=E[Y]$

よって式(1)が証明出来ました。