流れの分岐（別解） - 工場統計力学（建設中！）

では、「不定個の同一分布独立確率変数の和の平均」で求めた式(7)（ここでは式(1)と番号を振り直します）

$E[Y]=E[X]E[N]$ ・・・・(1)

と「不定個の同一分布独立確率変数の和の分散」で求めた式(8)（ここでは式(2)と番号を振り直します）

$V[Y]=E[N]V[X]+V[N]E[X]^2$ ・・・・(2)

を使って以下の問題を解いてみましょう。ただし、

$Y=\Bigsum_{k=1}^NX_k$ ・・・・(3)

であり、 $N$ 、 $X_k$ はともに確率変数であり、 $X_k$ は互いに独立で同一の確率分布を持つのでした。

問題

ある出発する流れを考える。これを $p:(1-p)$ の割合で流れAとBに分ける。ただし分け方は確率的である。つまり、出発するジョブはそれぞれ独立に確率 $p$ で流れAに属し、確率 $1-p$ で流れBに属する。元の流れのジョブの出発間隔時間を確率変数 $X$ で表わす。 $X$ の平均値を $E(X)$ 、分散を $Var(X)$ 、２乗変動係数を $c_X^2$ で表わす。流れAのジョブの出発間隔時間を確率変数 $Y$ で表わす。この時 $Y$ の平均値 $E(Y)$ 、分散を $Var(Y)$ 、２乗変動係数 $c_Y^2$ と $E(X)$ 、 $Var(X)$ 、 $c_X^2$ の関係を求める。

これは「流れの分岐」で提示した問題です。ここでは、その時とは異なる解法を示すことになります。

あるジョブ（ジョブI）が流れAに属するとして、その次の流れAに属するジョブ（ジョブII）は、前のジョブから見て $N$ 番目であるとします。この $N$ も確率変数になります。ジョブIとジョブIIの間隔を確率変数 $Y$ で表します。すると式(3)が成り立ちます。 $N$ 個の $X_k$ は互いに独立ですので式(1)(2)を使うことが出来ます。まず式(1)から

$E(Y)=E(N)E(X)$ ・・・・(4)

式(2)から

$Var(Y)=E(N)Var(X)+Var(N)E(X)^2$ ・・・・(5)

です。（単に表記法を変えただけです。）　次に $E(N)$ と $Var(N)$ を求めます。そのために $N$ がどのような確率変数であるかを考えます。
ジョブIIがジョブIの

すぐ後（１番目）である確率は $p$
２番目である確率は $(1-p)p$
３番目である確率は $(1-p)^2p$
・・・・・・・
$k$ 番目である確率は $(1-p)^{k-1}p$

ですから、 $N$ が $k$ である確率を $p_k$ で表すと

$p_k=(1-p)^{k-1}p$ ・・・・(6)

よって

$E(N)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp_k=\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}p$ ・・・・(7)

式(7)の右辺については「補足」の式(2)（ここでは式(8)と番号を振り直します）

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^2}$ ・・・・(8)

を用いると

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}p=\frac{1}{p^2}p=\frac{1}{p}$

となるので結局

$E(N)=\frac{1}{p}$ ・・・・(9)

となります。
次に

$E(N^2)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}k^2p_k=\Bigsum_{k=1}^{\infty}k^2(1-p)^{k-1}p$ ・・・・(10)

式(10)の右辺については「補足」の式(3)（ここでは式(11)と番号を振り直します）

$\Bigsum_{k=2}^{\infty}k(k-1)r^{k-2}=\frac{2}{(1-r)^3}$ ・・・・(11)

を用いると変形できるのですが式(11)自体を少々変形する必要があります。式(11)から

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}(k+1)kr^{k-1}=\frac{2}{(1-r)^3}$

よって

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k^2r^{k-1}+\Bigsum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1}=\frac{2}{(1-r)^3}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k^2r^{k-1}=\frac{2}{(1-r)^3}-\Bigsum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1}$