よく使う式

待ち行列理論

これから有限バッファの待ち行列を検討する際によく使いそうな以下の式を予め証明しておきます。

  • \Bigsum_{k=0}^Nu^k=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}　　　ただしu\neq1の時・・・・(1)
  • \Bigsum_{k=0}^Nku^k=\frac{u}{1-u}\left[\frac{1-u^{N+1}}{1-u}-(N+1)u^N\right]　　ただしu\neq1の時・・・・(2)

式(1)の証明

  • \Bigsum_{k=0}^Nu^k=S

と置きます。この式の両辺に(1-u)]をかけると

  • (1-u)S=\Bigsum_{k=0}^Nu^k-\Bigsum_{k=0}^Nu^{k+1}=\Bigsum_{k=0}^Nu^k-\Bigsum_{k=1}^{N+1}u^k=1-u^{N+1}

よって、u\neq1という条件を考慮すれば

  • S=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}

よって

  • \Bigsum_{k=0}^Nu^k=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}・・・・・（１）

となります。
あとは補足ですが、もしu=1ならば

  • \Bigsum_{k=0}^Nu^k=\Bigsum_{k=0}^N1^k=\Bigsum_{k=0}^N1=N+1

となります。

式（２）の証明

式（１）の両辺をuで微分します。

  • \Bigsum_{k=1}^Nku^{k-1}=\frac{-(N+1)u^N}{1-u}-\frac{1}{(1-u)^2}(-1)(1-u^{N+1})
    • =\frac{-(N+1)u^N}{1-u}+\frac{1-u^{N+1}}{(1-u)^2}=\frac{1-u^{N+1}}{(1-u)^2}-\frac{(N+1)u^N}{1-u}

よって

  • \Bigsum_{k=1}^Nku^k=\frac{u}{1-u}\left[\frac{1-u^{N+1}}{1-u}-(N+1)u^N\right]

よって

  • \Bigsum_{k=0}^Nku^k=\frac{u}{1-u}\left[\frac{1-u^{N+1}}{1-u}-(N+1)u^N\right]・・・・・（２）

あとは補足ですが、もしu=1ならば

  • \Bigsum_{k=0}^Nku^k=\Bigsum_{k=1}^Nk1^k=\Bigsum_{k=0}^Nk=\frac{N(N+1)}{2}

となります。