勉強と研究の計画：ステーションに滞在出来るジョブ数に制限がある場合

私が今、調べたいと思っていることは、ステーションに滞在することが出来るジョブの数に上限がある場合の、装置稼働率とX-Factorの関係です。ステーションが１つであり、さらにそこへのジョブの到着の、到着時間間隔が指数分布であり、さらに装置の処理時間の分布も指数分布である場合のみ、これがどのようなものであるか、他の本に載っています。しかし、これらの条件を満たさない場合にどのような結果になるのかを示した本を見たことがありません。そこで自分なりにこの問題を考えてみようとしております。
次のようにして考えていこうと思います。

• １．分かっていることの確認
  • 1.1. ステーションが１つで、そのステーションを構成する装置が１台で、ジョブの到着時間間隔の分布が指数分布、装置の処理時間の分布が指数分布の場合の装置稼働率とX-Factorの関係。（ここから始めました。）
  • 1.2. ステーションが１つで、そのステーションを構成する装置が複数台で、ジョブの到着時間間隔の分布が指数分布、装置の処理時間の分布が指数分布の場合の装置稼働率とX-Factorの関係。（ここから始めました。）
• ２．分かっている結果の拡張の検討
  • 2.1. 拡張方向１：ステーションは１つで、そのステーションを構成する装置が１台で、ジョブの到着時間間隔の分布が指数分布、という仮定はそのままにして、装置の処理時間が一般の分布の場合の装置稼働率とX-Factorの関係
    • 2.2.1. ポラツェク＝ヒンチンの定理を拡張出来ないか検討。
  • 2.2. 拡張方向２：ステーションは２つで直列に接続されており、各ステーションはそれぞれ１台の装置からなる。先頭のステーションには待ちジョブ数の制限はないが、２番目のステーションには待ちジョブ数の制限がある。先頭のステーションへのジョブの到着時間間隔の分布が指数分布、各装置の処理時間の分布が指数分布の場合の各装置の装置稼働率とX-Factorの関係

最終的には一般的な待ち行列ネットワークにおいて各ステーションに滞在するジョブ数に制限がある場合の、このネットワークの挙動を調べたいのですが、それはおそらくかなり困難なことなのでしょう。上に書いた2.1や2.2すら、私に解けるかどうか分かりません。しかし、時間がかかってもよいから、あるいは解けなくてもよいから、このブログ上に問題として掲げておこうと思います。