Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（１）」の最後の図はこのような図でした。

ところでこの図は、状態 $n$ の時にはジョブが到着しない、ということを表しています。これはどういうことかと言いますと、ステーション内のジョブ数が $n-1$ 以下の時のみ、ジョブは指数分布の到着時間間隔で到着するということです。あるいは、こう言い換えることが出来ます。ジョブは平均時間 $u/t_e$ の指数分布の到着時間間隔で常に到着しているのであるが、ステーションが満杯の時（つまり状態 $n$ の時）には到着したジョブはステーション内に入らずに消えてしまう、ということです。ということは到着したジョブが全て装置で処理されるわけではなく、ある割合で消えてしまう、ということです。もし、全てのジョブが装置で処理されるのでしたら

$u=\frac{t_e}{t_a}$

は装置の稼働率を表していたことでしょう。しかし、実際には $u$ は装置の稼働率ではありません。装置の稼働率 $u_e$ はその定義から

$u_e=1-p(0)$ ・・・・(14)

で与えられます。また、 $u$ は装置稼働率ではないので $u{\le}1$ という制限はありません。

このようなことに注意しつつ「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（１）」の最後の結果、式(13)

$p(k)=u^kp(0)$ 　　 $(0{\le}k{\le}n)$ ・・・・(13)

から $p(k)$ の式を求めます。
全確率の定理から

$\Bigsum_{k=0}^np(k)=1$ ・・・・(15)

ここで式(13)を代入すると

$\Bigsum_{k=0}^nu^kp(0)=1$ ・・・・(16)

ここで $u\neq1$ と仮定して「よく使う式」の式(1)（ここでは番号を振りなおして式(17)とします）

$\Bigsum_{k=0}^Nu^k=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}$ ・・・・(17)

を用いれば

$\Bigsum_{k=0}^nu^kp(0)=p(0)\Bigsum_{k=0}^nu^k=p(0)\frac{1-u^{n+1}}{1-u}$

よって

$p(0)\frac{1-u^{n+1}}{1-u}=1$

よって

$p(0)=\frac{1-u}{1-u^{n+1}}$ ・・・・(18)

これを式(13)に代入すれば

$p(k)=\frac{(1-u)u^k}{1-u^{n+1}}$ ・・・・(19)

これで $p(k)$ を求めることが出来ました。
装置稼働率 $u_e$ は式(14)から

- $=\frac{u(1-u^n)}{1-u^{n+1}}$

よって

$u_e=\frac{u(1-u^n)}{1-u^{n+1}}$ ・・・・(20)

これで装置稼働率 $u_e$ が求まったので、次はX-Factorを求めたいのですがこれは簡単にはいきません。まず、ＷＩＰを求め、次に装置稼働率からスループットを求め、リトルの法則を用いてＷＩＰとスループットからサイクルタイムを求めます。最後に
サイクルタイムからX-Factorを求めます。
ＷＩＰ、 $WIP$ は定義から