Kingmanの近似式の拡張の導出についての考察

待ち行列理論

「Kingmanの近似式の導出」のつづきです。
ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の平均待ち時間を与えるKingmanの近似式

については「Kingmanの近似式の導出」で根拠を示すことが出来ました。これを複数装置に拡張したＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を与える近似式として

がいろいろな文献に書かれていますが、私は今のところこれを根拠づけることは出来ていません。


「Kingmanの近似式の導出」でも紹介しましたが、Page*1によれば

  • CT_{q(GI/G/s)}{\approx}c_a^2c_e^2CT_{q(M/M/s)}+c_a^2(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}+c_e^2(1-c_a^2)CT_{q(D/M/s)}・・・・（３）

が成り立ちます。そこでもし、

  • CT_{q(M/D/s)}{\approx}CT_{q(D/M/s)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}・・・・（４）

を言うことが出来れば式（３）は

  • CT_{q(GI/G/s)}{\approx}c_a^2c_e^2CT_{q(M/M/s)}+c_a^2(1-c_e^2)\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}+c_e^2(1-c_a^2)\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}
    • =\frac{2c_a^2c_e^2+c_a^2(1-c_e^2)+c_e^2(1-c_a^2)}{2}CT_{q(M/M/s)}
    • =\frac{c_a^2+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}

つまり

  • CT_{q(GI/G/s)}=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)CT_{q(M/M/s)}・・・・（２）

を言うことが出来るのですが、式（４）を証明することが私には出来ていません。ところで

  • CT_{q(M/G/s)}{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}・・・・（５）

はリー・ロントンの近似式と呼ばれていますが、これを用いれば少なくとも式（４）の半分

  • CT_{q(M/D/s)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}・・・・（４’）

を導くことが出来るので、まず、リー・ロントンの近似式の根拠を探し出すことが必要そうです。

*1:Page, E. S. (1972), Queueing Theory in OR