リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（１）

待ち行列理論

Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を与えるリー・ロントンの近似式

  • CT_{q(M/G/s)}{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}・・・・(1)

を何とか根拠づけることが出来ないか（というのはネット上にそのような記事が見つからなかったので）と私が考えたことをここに記します。
まず、Page*1によれば

  • CT_{q(GI/G/s)}{\approx}c_a^2c_e^2CT_{q(M/M/s)}+c_a^2(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}+c_e^2(1-c_a^2)CT_{q(D/M/s)}・・・・(2)

が成り立ちます。この式をＭ／Ｇ／ｓに適用すると、

  • c_a=1・・・・(3)

なので

  • CT_{q(M/G/s)}{\approx}c_e^2CT_{q(M/M/s)}+(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}・・・・(3)

よって、もし式(1)が成り立つならば

  • \frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}{\approx}c_e^2CT_{q(M/M/s)}+(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}
  • \frac{1-c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}{\approx}(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}
  • CT_{q(M/D/s)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}・・・・(4)

が成り立ちます。逆に式(4)が成り立つならば、式(4)を式(3)に代入することによって式(1)が成り立つことを確かめることが出来ます。そこで式(4)が成り立つことを示すことを試みます。s=1の時に式(4)が成り立つことは、s=1の時、式(4)が

  • CT_{q(M/D/1)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/1)}・・・・(4')

となりますが、「Ｍ／Ｄ／１における待ち時間の式の導出 」に示すように

  • CT_{q(M/D/1)}=\frac{u}{2(1-u)}=\frac{1}{2}CT_{q(M/M/1)}・・・・(4'')

ですから式(4)は成り立ちます。


ではs=2の場合はどうでしょうか？


「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（２）」に続きます。

*1:Page, E. S. (1972), Queueing Theory in OR