リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（２）

待ち行列理論

「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（１）」の続きです。
ではs=2の場合はどうでしょうか？　処理時間は一定値なので、ジョブの完了はかならず装置１、２で交互に発生します。（下図参照）。

よって、待ち行列に並んでいるジョブは必ず２つの装置に交互に割り当たります。つまり、ジョブがこの待ち行列システムに到着した際に、すでに自分がどちらの装置で処理されることになるのか決定されている、ということになります。もし、２台の装置の両方が空いている場合は、その直前に処理を完了した装置とは別の装置を割り当てることにします。このようにすると、各装置は、到着するジョブをひとつ置きに処理することになります。

そこで、この待ち行列システムを２つの別々の待ち行列システムの集合と見ることが出来ます。その片方の待ち行列を取り出して考察してみましょう。

この待ち行列システムは、処理時間分布については装置処理時間が一定なのでDです。到着分布については、到着間隔が指数分布の間隔を２つ足したものになりますから、２次のアーラン分布、つまりE_2です。つまりE_2/D/1待ち行列になります。ここでKingmanの近似式

  • CT_q\appro\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}t_e・・・・(5)

を適用すると、c_a^2は「アーラン分布」の式（14）から

  • c_a^2=\frac{1}{2}

また

  • c_e=0

なので

  • CT_{q(E_2/D/1)}\appro\frac{1/2}{2}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e

よって

  • CT_{q(E_2/D/1)}\appro\frac{1}{4}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(6)

となります。上の図２と図３を見比べれば、

  • CT_{q(E_2/D/1)}=CT_{q(M/D/2)}・・・・(7)

であることが分かるので、式(6)から

  • CT_{q(M/D/2)}\appro\frac{1}{4}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(8)

という近似式を得ることが出来ます。


しかし残念なことに、これはリー・ロントンの近似式とは異なっています。「Ｍ／Ｍ／２における待ち時間の式」の式（1）から

  • CT_{q(M/M/2)}=\frac{u^2}{1-u^2}t_e・・・・(9)

なので、s=2の時のリー・ロントンの近似式は

  • CT_{q(M/D/2)}{\approx}\frac{1}{2}{\cdot}\frac{u^2}{1-u^2}t_e・・・・(10)

となります。式(10)を変形すると

  • CT_{q(M/D/2)}{\approx}\frac{1}{2}{\cdot}\frac{u^2}{(1+u)(1-u)}t_e

よって

  • CT_{q(M/D/2)}{\approx}\frac{u}{2(1+u)}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(11)

なので式(8)と比較すると

  • \frac{1}{2}

と

  • \frac{u}{1+u}

の部分が異なっています。


「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（３）」に続きます。