リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（９）

「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（８）」の最後では、２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ ズレている、という仮定が不自然であることを述べました。しかし、２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ ズレていなくても実は、２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ ズレている時と平均待ち時間はあまり違わないのではないかと思いました。つまりガントチャートで装置の状況を表すと

のような場合です。この様子を１台の装置に代用させて

のような処理時間を持つ１台の装置を考えることが出来ます。この場合、この仮想的な装置は大小２つの処理時間を持つことになります。つまり $c_e$ はゼロよりも大きくなります。最初は、このことによって平均待ち時間は長くなるのではないか、と思いました。しかし、この場合でも $t_e$ の間に必ず２つのジョブが処理完了する、という規則性は保たれており、平均待ち時間を考える際にはこの規則性を考慮して、２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ ズレている時と平均待ち時間はあまり変わらない、と考えられるのではないか、と思いました。この点ももう少し明確に記述する必要があります。

最初、この仮想的な装置の処理時間が変動することからKingmanの近似式
- $CT_q\appro\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(1)
を適用して、平均待ち時間が、２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ ズレている場合より長くなることを予想したのですが、このKingmanの近似式は毎回の処理時間が互いに独立である場合を想定しているのでした。ですから今の場合、Kingmanの近似式を用いることは適切ではありません。