工場統計力学（建設中！）

リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（１０）

待ち行列理論

「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（９）」の続きです。
ここまでくれば、あとは簡単です。

$\hat{CT}_{q(M/D/s,t_e)}{\approx}\hat{CT}_{q(M/D/1,t_e/s)}$ ・・・・(3)

でした。まず

$CT_{q(M/D/1,t_e/s)}=\frac{1}{2}\frac{u}{1-u}\frac{t_e}{s}$

つまり

$CT_{q(M/D/1,t_e/s)}=\frac{1}{2s}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(4)

です。ところで装置が全部空いていない確率は（全部といっても装置は１台なので） $u$ です。ということは、

$\hat{CT}_{q(M/D/1,t_e/s)}=\frac{1}{2s}\frac{u}{1-u}t_e{\times}\frac{1}{u}$

つまり

$\hat{CT}_{q(M/D/1,t_e/s)}=\frac{1}{2s}\frac{1}{1-u}t_e$ ・・・・(5)

ということになります。式(3)と式(5)から

$\hat{CT}_{q(M/D/s,t_e)}{\approx}\frac{1}{2s}\frac{1}{1-u}t_e$ ・・・・(6)

ところで $s$ 台の装置が全てふさがっている確率は $\Pi_{M/D/s}$ であるので

${CT_{q(M/D/s,t_e)}{\approx}\frac{1}{2s}\frac{\Pi_{M/D/s}}{1-u}t_e$ ・・・・(7)

そして

$\Pi_{M/D/s}{\approx}\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(8)

なので

${CT_{q(M/D/s,t_e)}{\approx}\frac{1}{2s}\frac{\Pi_{M/M/s}}{1-u}t_e$ ・・・・(9)

ところで「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（６）」の式(8)（ここでは番号を振り直して式(10)とします）

$CT_{q(M/M/s)}=\frac{\Pi_{(M/M/s)}}{(1-u)s}t_e$ ・・・・(10)

を用いれば式(9)は

${CT_{q(M/D/s,t_e)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s,t_e)}$ ・・・・(11)

となります。
ここで「Kingmanの近似式の拡張の導出についての考察」の式(3)（Pageの近似式。ここでは番号を振り直して式(12)とします）

$CT_{q(GI/G/s)}{\approx}c_a^2c_e^2CT_{q(M/M/s)}+c_a^2(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}+c_e^2(1-c_a^2)CT_{q(D/M/s)}$ ・・・・(12)

をＭ／Ｇ／ｓに適用すると $c_a=1$ であることに注意すれば

$CT_{q(M/G/s)}{\approx}c_e^2CT_{q(M/M/s)}+(1-c_e^2)CT_{q(M/D/s)}$ ・・・・(13)

ここに式(11)を代入すれば

- $=\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/D/s)}$

よって

$CT_{q(M/G/s)}{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}$ ・・・・(14)

これで、リー・ロントンの近似式が成立することを示すことが出来ました。