GI/G/sの平均待ち時間の近似式の根拠 - 工場統計力学（建設中！）

今年も相変わらず、読む人の限られるこの話題を続けます。人気なくってもだいじょうぶだいっ！　好きなこと書いていくぞおっ！

（冷静に戻って・・・・）GI/G/sの平均待ち時間の近似式

の根拠について、現状、私が理解しているものをここに挙げておきます。これだけでは式(1)を根拠づけるには弱いことは分かっていますが、今のところ私にはこれだけしか理解出来ておりません。

根拠１：到着過程がポアソン過程の時に式(1)はリー・ロントンの近似式に一致する。

到着過程がポアソン過程の場合、つまりM/G/s待ち行列の場合、ですから式(1)は
- $CT_{q(M/G/s)}=\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}$
となり、リー・ロントンの近似式に一致します。リー・ロントンの近似式の根拠については「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（１）」から「（１０）」にかけて記述しました。

根拠２：s=1の時に式(1)はKingmanの近似式に一致する。

の時には式(1)は
- $CT_{q(GI/G/1)}=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e$
- ただし
  - $t_e$ は平均処理時間
になってKingmanの近似式に一致します。Kingmanの近似式の根拠については「Kingmanの近似式の導出」に述べました。

根拠３：式(1)は重負荷定理の結果を満足する。

重負荷定理は
- $\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(GI/G/s)}=\frac{c_a^2+c_e^2}{2s}t_e$ ・・・・(2)
を主張しますが、式(1)をこの左辺に適用すると
- $\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(GI/G/s)}=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(M/M/s)}$
となりますが
- $\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(M/M/s)}=\frac{1}{s}t_e$ ・・・・(3)
なので結局、式(2)が成り立ちます。重負荷定理については「拡散近似（８）」を参照して下さい。

上の根拠１〜３を満たす式は式(1)に限らないのですが、式(1)が一番自然な形であることは確かです。