補足

待ち行列理論

「GI/G/sの平均待ち時間の近似式の根拠」で登場した

  • \lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(M/M/s)}=\frac{1}{s}t_e・・・・(3)

について、確かめておきます。


まず

  • CT_{q(M/M/s)}=\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)^2}p_0t_e・・・・(4)

なので

  • (1-u)CT_{q(M/M/s)}=\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)}p_0t_e・・・・(5)

そして

  • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}・・・・(6)

です。式(6)から

  • \frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)}p_0=\frac{\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}

よって

  • \frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)}p_0=\frac{s^{s-1}u^s}{{s!(1-u)}\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+(su)^s}・・・・(7)

式(7)の右辺の各項はu{\rightar}1で

  • s^{s-1}u^s{\rightar}s^{s-1}
  • s!(1-u)}\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}{\rightar}0
  • (su)^s{\rightar}s^s

になるので

  • \lim_{u{\rightar}1}\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)}p_0=\frac{s^{s-1}}{s^s}=\frac{1}{s}

よってこの式と式(5)により

  • \lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_{q(M/M/s)}=\frac{1}{s}t_e・・・・(3)

が言えます。