Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（３）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（２）」の続きです。一歩ずつ進んでいきましょう。
まず、M/G/sにおいて

が言えるならば待ち確率\Pi_{M/G/s}は、M/M/sの待ち確率\Pi_{M/M/s}に等しい、つまり

  • \Pi_{M/G/s}=\Pi_{M/M/s}・・・・(2)

というのに充分であるかどうか確かめます。
まず

  • \Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}・・・・(3)

でした。次に、式(1)を繰り返し適用することにより

  • 0{\le}k{\le}sの場合、p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)・・・・(4)

を得ることが出来ます。また、M/G/s待ち行列の空き装置台数の時間平均値を全台数sで割れば、それは装置の空き率となり、つまり１から装置稼働率を引いたものです。つまり

  • 1-u=\frac{1}{s}\Bigsum_{k=0}^{s-1}(s-k)p(k)・・・・(5)

この右辺を変形すると

  • 1-u=\Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k)-\frac{1}{s}\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)・・・・(6)

この右辺に式(4)を用いると

  • \Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k)-\frac{1}{s}\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)=p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}-\frac{p(0)}{s}\Bigsum_{k=0}^{s-1}k\frac{(su)^k}{k!}
    • p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}-p(0)u\Bigsum_{k=0}^{s-2}\frac{(su)^k}{k!}=p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}-u\Bigsum_{k=0}^{s-2}\frac{(su)^k}{k!}\right]
    • =p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}-u\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{u(su)^{s-1}{(s-1)!}\right]=p(0)\left[(1-u)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{)su)^s}{s!}\right]

よって

  • 1-u=p(0)\left[(1-u)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{)su)^s}{s!}\right]
  • p(0)=\frac{1-u}{(1-u)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!}}
  • p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}・・・・(7)

これはM/M/sにおけるp(0)と同一です。
\Pi_{M/G/s}は定義から

  • \Pi_{M/G/s}=1-\Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k)=1-p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}

ここで式(7)を代入すると

  • \Pi_{M/G/s}=1-\frac{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}

よって

  • \Pi_{M/G/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}

この式と式(3)から

  • \Pi_{M/G/s}=\Pi_{M/M/s}・・・・(2)

が言えます。つまり、

ならば

  • \Pi_{M/G/s}=\Pi_{M/M/s}・・・・(2)

です。