工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（６）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（４）」の最後で、「これから何とかして $M/D/2$ 待ち行列の $p(0)$ と $p(1)$ を求め」ると書き、次に「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（５）」で「実はこれがうまくいっていません。」と書きました。いまや「Excelによる、ＧＩ／Ｄ／ｓ待ち行列の簡易シミュレート」でＭ／Ｄ／２をシミュレートすることが出来るようになりました。これを用いれば、（ちょっと工夫がいりますが） $M/D/2$ 待ち行列の $p(0)$ と $p(1)$ のだいたいの値を求めることが出来ます。その結果を下のグラフに示します。

グラフ１　p(0)とp(1)

この結果を $M/M/2$ の場合の $p(0)$ と $p(1)$ と比較してみましょう。「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式(14)から

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(1)

でした。今、考えているのは $s=2$ ですから、式(1)に $s=2$ を代入して

- $=\frac{1-u}{(1+2u)(1-u)+2u^2}=\frac{1-u}{1+2u-u-2u^2+2u^2}=\frac{1-u}{1+u}$

よって

$p(0)=\frac{1-u}{1+u}$ ・・・・(2)

次に

$p(1)=2up(0)$ ・・・・(3)

でしたから（「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（４）」の式8参照）、

$p(1)=\frac{2u(1-u)}{1+u}$ ・・・・(4)

となります。
これらを上のグラフに書き加えると下のようになります。

グラフ２　p(0)とp(1)

このグラフから分かるように $M/D/2$ と $M/M/2$ では $p(0)$ と $p(1)$ の値はほとんど同じです。

$\Pi$ はどちらも

$\Pi=1-p(0)-p(1)$

で求めることが出来るので、求めた結果をグラフにすると

グラフ３　Π

非常によい近似となっていることが分かります。これで「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（５）」で言えなかった

$\Pi_{M/D/2}{\approx}\Pi_{M/M/2}$ ・・・・(5)

が言えることになりました（解析的に求めたのではなくてシミュレーション結果として求めたのですが）。さて、 $M/G/s$ の $G$ （装置の処理時間の分布）がポアソン分布に近づけば近づくほど、その $\Pi$ は、つまり $\Pi_{M/G/s}$ は $\Pi_{M/M/s}$ に近づくはずです。また、 $M/D/s$ において $s$ が大きくなればなるほど、ジョブが待たされずに処理される確率が増え、

[tex:k

の精度が上がり（「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（４）」参照）

$\Pi_{M/G/s}\approx\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(7)

の精度が上がります。
$M/D/2$ ですら式(7)の精度が高かったわけですから、一般の $M/G/s$ についてはもっと精度高く(7)が成り立つことになります。よって、一般の $M/G/s$ について

$\Pi_{M/G/s}\approx\Pi_{M/M/s}$

が言えることになります。