Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」では、ジョブの到着直前でのシステム内のジョブ数の確率 $p(j)$ を求めました。
ここでは、Ｄ／Ｍ／１ではジョブが等間隔で到着することに留意して、ジョブの到着時の時刻を $t=0$ とし、ジョブの到着時点から $t$ だけたった時点での、システム内のジョブ数が $j$ 個である確率 $p(j,t)$ を求めることを考えます。ただし、ジョブの到着間隔を $T$ とし、 $0{\le}t{\le}T$ であるとします。また、 $t=0$ はジョブの到着直後を表し、 $t=T$ はジョブの到着直前を表す、とします。そうすると「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」でもとめた $p(j)$ は

$p(j)=p(j,T)$ ・・・・(1)

と表すことが出来ます。ジョブの到着直後は、ジョブ数は＋１されますから、

$p(j,0)=p(j-1)=p(j-1,T)$ 　　ただし $(j{\ge}1)$ ・・・・(2)

となります。今は、 $(j{\ge}1)$ の場合を考えます。
$t$ の時点でジョブが $j$ 個であるのは、以下の場合が考えられます。（ $t$ の間にジョブが到着することはないのでジョブ数が増えることはありません。）

到着直後にジョブが $j$ 個で、 $t$ の間にまったく処理終了がなかった。
到着直後にジョブが $j+1$ 個で、 $t$ の間に処理終了が１回あった。
到着直後にジョブが $j+2$ 個で、 $t$ の間に処理終了が２回あった。
・・・・・・・
到着直後にジョブが $j+k$ 個で、 $t$ の間に処理終了が $k$ 回あった。
・・・・・・・

処理時間は指数分布であり、 $t$ の時点でもジョブ数は１以上である（つまり装置は空いていない）場合を今考えているので、 $t$ の間に処理終了が $k$ 回発生する確率は、ポアソン分布になります。（「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」の式(3)では、この確率を $p(k;t)$ と表したのですが、そうすると上で決めた $p(j,t)$ と紛らわしいので、ここでは $B(k;t)$ と表すことにします。すると