Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１）」の最後で求めた式(7)

$\frac{p(j,t)}{p(j,0)}=\exp\left(-\frac{1-b}{t_e}t\right)$ ・・・・(7)

の右辺を

$r(t)=\exp\left(-\frac{1-b}{t_e}t\right)$ ・・・・(8)

とおいて、この $r(t)$ の性質を少し調べてみます。 $j{\ge}1$ である $j$ について

$\frac{p(j,t)}{p(j,0)}=r(t)$ ・・・・(9)

が成り立つのでした。
まず、 $r(0)$ を求めてみます。式(9)から考えれば当然 $r(0)=1$ となるはずです。そのことを式(8)で確かめてみます。式(8)から

$r(0)=\exp\left(-\frac{1-b}{t_e}{\times}0\right)=\exp(0)=1$

となり、予想通り $r(0)=1$ となりました。次に、 $r(T)$ を求めてみます。式(8)から

$r(T)=\exp\left(-\frac{1-b}{t_e}T\right)$ ・・・・(9)

となりますが、「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」の式(1)（ここでは番号を振り直して式(10)とします）

$T=\frac{t_e}{u}$ ・・・・(10)

を用いれば

$r(T)=\exp\left(-\frac{1-b}{u}\right)$ ・・・・(11)

となります。ところで、「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式(16)（ここでは番号を振り直して式(12)とします）

$\frac{1}{b}\exp\left(\frac{b}{u}\right)=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(12)

から

- $\frac{1}{b}=\exp\left(\frac{1-b}{u}\right)$

よって

$b=\exp\left(-\frac{1-b}{u}\right)$ ・・・・(13)

これを式(11)の右辺に用いると

$r(T)=b$ ・・・・(14)

となります。式(14)と式(9)により

$\frac{p(j,T)}{p(j,0)}=b$ ・・・・(15)

となりますが、これを変形すると

$p(j,T)=bp(j,0)$

です。「Ｄ／Ｍ／１の確率分布の変化（１）」の式(2)から

$p(j,0)=p(j-1)$ ・・・・(2')

でした。よって

$p(j,T)=bp(j-1)$

となり

$p(j,T)=p(j)$ ・・・・(16)

となります。つまり、 $p(j,t)$ は $t=0$ の時 $p(j-1)$ であり、時間が経過するにつれて指数関数的に減少し、 $t=T$ の時に $p(j)$ になり、そこでジョブ１個の到着を受けて再び $p(j-1)$ になる、という変化の仕方が分かります。
次に $r(t)$ の時間平均 $E[r(t)]$ を求めます。 $t$ の範囲が $0{\le}t{\le}T$ であることに注意すれば