GI/G/1待ち行列の定常状態分布（１）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の定常状態分布」では、任意の時点でシステムにジョブがk個ある確率p(k)が

  • p(0)=1-u・・・・(1)
  • k{\ge}1の時
    • p(k)=u(1-b)b^{k-1}・・・・(2)

と書けることが分かりました。また、「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」では式(1)が成り立つことはもちろんですが、近似的に

  • k{\ge}1の時
    • p(k){\approx}\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^k・・・・(3)

であることが分かりました。式(3)で

  • b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}

と置くと

  • p(k){\approx}\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}b^k=\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}b\cdot{b}^{k-1}
    • =\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}{b}^{k-1}=\frac{2(1-u)u}{2-(1-c_e^2)u}{b}^{k-1}
    • =u\frac{2(1-u)}{2-(1-c_e^2)u}{b}^{k-1}=u\frac{2(1-u)+2-(1-c_e^2)u-2+(1-c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}{b}^{k-1}
    • =u\left[1+\frac{2(1-u)-2+(1-c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right]{b}^{k-1}=u\left[1+\frac{-2u+(1-c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right]{b}^{k-1}
    • =u\left[1-\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right]{b}^{k-1}=u(1-b)b^{k-1}

よって

  • p(k){\approx}u(1-b)b^{k-1}・・・・(4)

となります。
ここから一般のＧＩ／Ｇ／１について

  • p(0)=1-u・・・・(1)
  • k{\ge}1の時
    • p(k){\approx}u(1-b)b^{k-1}・・・・(4)

が成り立つのではないか、と推測出来ます。しかし、冷静に考えれば、これは到着間隔分布か処理時間分布のいずれかがＭに近い時のみ（つまりＭ／Ｇ／１かＧＩ／Ｍ／１に近い時のみ）正当化される近似です。それ以外のＧＩ／Ｇ／１について、はたして式(4)がよい近似であるかどうかはよく分かりません。それでもまずは式(4)が成り立つ、と仮定して、その時のbの値がどのように書けるのか調べてみましょう。


まずはKingmanの近似式

  • CT_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(5)

を用いてbを求めます。次に、「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の近似式」で私が提案した式

  • CT_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(6)

を用いてbを求めます。後者（式(6)）の式を用いると式が複雑になりますが、前者（式(5)）の式を用いた時より近似の精度は上がるはずです。