GI/G/1待ち行列の定常状態分布（２）

待ち行列理論

「GI/G/1待ち行列の定常状態分布（１）」の続きです。まず式(5)

  • CT_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(5)

を用います。「リトルの法則」を用いると平均待ちジョブ数L_qは

  • L_q=CT_q{\times}\frac{u}{t_e}・・・・(7)

よって

  • L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}・・・・(8)

一方、L_qの定義から

  • L_q=\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)p(k)・・・・(9)

ここに「GI/G/1待ち行列の定常状態分布（１）」の式(4)

  • k{\ge}1の時
    • p(k){\approx}u(1-b)b^{k-1}・・・・(4)

を代入すると

  • L_q{\approx}\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)u(1-b)b^{k-1}=u(1-b)\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)b^{k-1}=u(1-b)\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^k

ここで「補足」の式(2)を参照すれば

  • L_q{\approx}u(1-b)b\frac{1}{(1-b)^2}

よって

  • L_q{\approx}\frac{ub}{1-b}・・・・(10)

式(8)と式(10)から、

  • \frac{ub}{1-b}=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^2}{1-u}・・・・(11)

と置きます。\approxではなく=としたのは、bがこれから求める変数であるからです。式(11)から

  • \frac{b}{1-b}=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}

よって

  • \frac{1-b}{b}=\frac{2(1-u)}{(c_a^2+c_e^2)u}
  • \frac{1}{b}-1=\frac{2(1-u)}{(c_a^2+c_e^2)u}
  • \frac{1}{b}=\frac{2(1-u)}{(c_a^2+c_e^2)u}+1=\frac{2(1-u)+(c_a^2+c_e^2)u}{(c_a^2+c_e^2)u}=\frac{2-(2-c_a^2-c_e^2)u}{(c_a^2+c_e^2)u}

よって

  • b=\frac{(c_a^2+c_e^2)u}{2-(2-c_a^2-c_e^2)u}・・・・(12)