Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の定常状態分布に向けて

待ち行列理論

システム内のジョブの数をkで表す時、k{\ge}sの場合についてＤ／Ｍ／ｓ待ち行列の定常状態確率p(k)を、「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の定常状態分布」で展開した論理を用いて示すことが出来ます。ただし\Pi_{D/M/s}が既知であるとしての話ですが。


到着直前にシステム内のジョブがk個だった場合、このジョブ到着によってk+1個になります。このk{\rightar}k+1の変化が単位時間あたり平均何回起きるか考えてみます。単位時間内の平均ジョブ到着数は

  • \frac{su}{t_e}・・・・(1)

でした。到着直前にシステム内のジョブ数がk個である確率は\pi(k)になりますので、単位時間あたりk{\rightar}k+1の変化が起きる平均回数は

  • \frac{su}{t_e}\pi(k)・・・・(2)

になります。次に、単位時間あたりk+1{\rightar}kの変化が起きる平均回数を考えます。ここでk{\ge}sであることに注意します。任意の時刻にシステム内にジョブがk+1個あったとしてそれがk個になるというのは、ジョブの処理が終了するということですが、このジョブの終了は１装置については単位時間あたり

  • \frac{1}{t_e}・・・・(3)

になりますが、装置はs台ありますので、ここでk+1{\ge}sであると仮定します。そうすると、全ての装置がジョブを処理中ということになるため、システム全体としてはジョブの終了は単位時間あたり

  • \frac{s}{t_e}・・・・(4)

となります。任意の時刻にシステム内にジョブがk+1個ある確率はp(k+1)なので、単位時間あたりk+1{\rightar}kの変化が起きる平均回数は

  • \frac{s}{t_e}p(k+1)・・・・(5)

今、定常状態を考えていますから式(2)と式(5)は等しいはずです。よって

  • \frac{su}{t_e}\pi(k)=\frac{s}{t_e}p(k+1)

よって

  • u\pi(k)=p(k+1)　ただしk{\ge}s-1・・・・(6)


さて、「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(13)（ここでは番号を振り直して式(7)とします）

  • \pi(k+1)=b\pi(k)　ただしk{\ge}s-1・・・・(7)

から

  • \pi(k)=b^{k-s}\pi(s)　ただしk{\ge}s-1・・・・(8)

を言うことが出来ます。「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(18)とは異なり「ただしk{\ge}s-1」としていることに注意して下さい。「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」では叙述の関係上「ただしk{\ge}s」としたのでした。次に「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(20)（ここでは番号を振り直して式(9)とします）

  • \pi(s)=\Pi_{D/M/s}(1-b)・・・・(9)

を式(8)に代入すれば

  • \pi(k)=b^{k-s}(1-b)\Pi_{D/M/s}　ただしk{\ge}s-1・・・・(10)

となります。これを式(6)に代入すると

  • ub^{k-s}(1-b)\Pi_{D/M/s}=p(k+1)　ただしk{\ge}s-1

よって

  • p(k)=ub^{k-s-1}(1-b)\Pi_{D/M/s}　ただしk{\ge}s・・・・(11)

となります。