Ｄ／Ｍ／ｓの待ち確率と、任意の時点で装置が全部ふさがっている確率の関係

Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列はＰＡＳＴＡが成立しませんので、待ち確率、すなわち、ジョブが到着する時に装置がｓ台全部ふさがっている確率と、任意の時点で装置がｓ台全部ふさがっている確率は等しくありません。待ち確率のほうは $\Pi_{D/M/s}$ という記号で表してきました。任意の時点で装置がｓ台全部ふさがっている確率のほうは $\Omega_{D/M/s}$ という記号で表すことにします。「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の定常状態分布に向けて」で用いた $p(k)$ 、 $\pi(k)$ を用いれば、定義から

$\Pi_{D/M/s}=\Bigsum_{k=s}^{\infty}\pi(k)$ ・・・・(1)
$\Omega_{D/M/s}=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$ ・・・・(2)

となります。
「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の定常状態分布に向けて」の式(11)（ここでは番号を振り直して式(3)とします）

$p(k)=ub^{k-s-1}(1-b)\Pi_{D/M/s}$ 　ただし $k{\ge}s$ ・・・・(3)

を式(2)に代入すると

- $=u(1-b)\Pi_{D/M/s}{\times}\frac{1}{b(1-b)}=\frac{u}{b}\Pi_{D/M/s}$

よって

$\Omega_{D/M/s}=\frac{u}{b}\Pi_{D/M/s}$ ・・・・(4)

となります。

以前「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を求めて（２）」で

そこで、もし

$\frac{\Pi_{(D/M/s)}}{\Pi_{(D/M/1)}}{\approx}\frac{\Pi_{(M/M/s)}}{u }$ ・・・・(17)

をいうことが出来れば、

$CT_{q(D/M/s)}{\approx}CT_{q(M/D/s)}$ ・・・・(3)

をいうことが出来そうです。