Ｍ／Ｄ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）

が成り立ちます。ここから

となります。式(11)を使って $\Pi_{M/D/s}$ を計算すると

$\Pi_{M/D/s}=1-\Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k){\approx}1-p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}$

ここで式(7)

を用いると

ここで「Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（３）」の式(3)（ここでは番号を振り直して式(13)としました。）

$\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(13)

を用いると

$\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\approx}1-p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}$

よって

- $=\frac{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$

よって

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)

これは「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式(14)と比べれば分かるようにＭ／Ｍ／ｓにおける $p(0)$ と同じです。さらに上の式(11)と「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式(10)を比べることにより、式(11)の $p(k)$ はＭ／Ｍ／ｓにおける $p(k)$ に等しいことが分かります。つまり、Ｍ／Ｄ／ｓの $p(k)$ は[tex:k

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(11)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(8)
- ただし
  - $b=\frac{u}{2-u}$ ・・・・(9)
  - $\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(13)

となります。