Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（１）

「Ｍ／Ｄ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」での結論は、Ｍ／Ｄ／ｓの定常状態確率 $p(k)$ の近似式は

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(3)
- ただし
  - $b=\frac{u}{2-u}$ ・・・・(4)
  - $\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

でした。ところでＭ／Ｍ／ｓの定常状態確率 $p(k)$ は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式(10)(12)から（ここでは番号を振り直して式(6)(7)とします）

でした。式(6)は式(1)と同じ形です。さらに式(7)を変形すると、式(7)と(2)から

- $=u^{k-s}\frac{\frac{(su)^s}{s!}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$
- $=(1-u)u^{k-s}\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$
- $=u^{k-s}(1-u)\Pi_{M/M/s}$

つまり

となり、式(3)で $b$ を $u$ に置き換えた形になっています。ここからＭ／Ｇ／ｓ待ち行列において定常状態確率 $p(k)$ が

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(3)
- ただし
  - $\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)