ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（１）

くやしいですが、今の私ではＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態確率の近似式を主張することが出来ません。

と書きました。もう壁にガツンとぶつかってしまったと思いました。でも、です。でも、その時、比嘉さんのエントリー「44歳、キングカズが語る「1センチでもいいから前へ進むんだ」」を思い出しました。サッカーのことはまったく分からない自分ですが、51歳のわたしも１センチ進んでみましょう。というのはカッコつけすぎかな？　とにかく少しでも前に進もうということで「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて」の内容をＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列に拡張することを考えてみます。

ジョブが到着する間隔は確率密度 $g(t)$ で分布しているとします。つまりジョブが到着する間隔が $t$ から $t+dt$ の間にある確率は $g(t)dt$ です。ジョブが到着する間隔が $t$ であったとして、この間隔の間にジョブが $k$ 個処理終了する確率を求めます。ただしここでは、 $k$ 個処理されたあともシステム内にジョブが $s$ 個以上ある場合について考えます。そうすると指数分布の処理時間でジョブを処理する装置がこの $t$ の間に空かなかったことになります。１台の装置が $t$ と $t+dt$ の間に処理を終了する確率は

$\frac{1}{t_e}dt$

です。よって、 $s$ 台の装置のいずれかが $t$ と $t+dt$ の間に処理を終了する確率は

$\frac{s}{t_e}dt$ ・・・・(1)

になります。よってこれは平均処理時間

$\frac{t_e}{s}$

の指数分布を持つ１台の装置と同等になります。よって $t$ の間にジョブが $k$ 個終了する確率はポアソン分布になります。「ポアソン分布」の式（１）から、 $t$ の間にジョブが $k$ 個終了する確率 $p(k;t)$ は

$p(k;t)=\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)$ ・・・・(2)

となります。ここで

$\lambda=\frac{s}{t_e}$ ・・・・(3)

であるので、

$p(k;t)=\frac{(st/t_e)^k}{k!}\exp(-st/t_e)$ ・・・・(4)

となります。ジョブ到着間隔が $t$ から $t+dt$ の間にある確率は $g(t)dt$ ですから、あるジョブが到着して次のジョブが到着するまでに装置がジョブを $k$ 個処理する確率 $B(k)$ は式(4)と $g(t)dt$ から

$B(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{(st/t_e)^k}{k!}\exp(-st/t_e)g(t)dt$ ・・・・(5)

になります。

さて、あるジョブ到着直前にシステムにジョブが $j$ 個あったとします。その次のジョブ到着直前に $k$ 個になる確率を $C(j,k)$ で表すことにします。この間隔の間にジョブは１個到着しますが、処理完了するジョブは最大、全部終了する可能性があります。よってジョブが２個以上増える確率はゼロです。よって