ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（１）

「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」でＭ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態確率 $p(k)$ について、 $k{\ge}s$ の場合、近似的に

・・・・(1)
- ただし $b$ は $k$ に依存しない

が成り立ち、「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」でＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の定常状態確率 $p(k)$ について、 $k{\ge}s$ の場合、近似的にではなく正確に

・・・・(2)
- ただし $b$ は $k$ に依存しない

が成り立つことが分かりました。これらの結果から、一般のＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列について $k{\ge}s$ の場合

・・・・(1)
- ただし $b$ は $k$ に依存しない

が成り立つと仮定してみましょう。そしてどのようなことが言えるか確かめてみましょう。

式(1)から

の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}p(s)$ ・・・・(3)

が言えます。ここで任意の時点で全ての装置がふさがっている確率を $\Omega_{GI/G/s}$ で表すとします。そうすると $\Omega_{GI/G/s}$ の定義から

$\Omega_{GI/G/s}=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$ ・・・・(4)

となります。式(4)に式(3)を代入すると

$\Omega_{GI/G/s}{\approx}p(s)\Bigsum_{k=s}^{\infty}b^{k-s}=p(s)\frac{1}{1-b}$

よって

$p(s){\approx}(1-b)\Omega_{GI/G/s}$ ・・・・(5)

となります。式(5)を式(3)に代入すると

の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Omega_{GI/G/s}$ ・・・・(6)

となります。これで $k{\ge}s$ の場合の定常状態確率 $p(k)$ の近似値を形式的には求めることが出来ました。しかし、現実には $b$ の値も $\Omega_{GI/G/s}$ の値も不明なのでこのままでは近似値は分かりません。

次にＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち行列長 $L_q$ を求めてみます。 $L_q$ の定義から

$L_q=\Bigsum_{k=s}^{\infty})(k-s)p(k)$ ・・・・(7)

この式に式(6)を代入すると

$L_q{\approx}(1-b)\Omega_{GI/G/s}\Bigsum_{k=s}^{\infty})(k-s)b^{k-s}=(1-b)\Omega_{GI/G/s}\Bigsum_{k=0}^{\infty})kb^k$

「補足」の式(2)（ここでは番号を振り直して式(8)とします）

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}kr^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^2}$ ・・・・(8)

から

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}kb^k=\frac{b}{(1-b)^2}$ ・・・・(9)

よって

$L_q{\approx}(1-b)\Omega_{GI/G/s}\frac{b}{(1-b)^2}$
$L_q{\approx}\frac{b}{1-b}\Omega_{GI/G/s}$ ・・・・(10)

となります。これでＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち行列長 $L_q$ を求めることが出来ました。

次にＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間 $CT_q$ を求めてみます。リトルの法則を適用すると

$L_q=CT_q{\times}\frac{su}{t_e}$ ・・・・(11)

よって

$CT_q=\frac{L_q}{su}t_e$ ・・・・(12)

式(12)に式(10)を代入して

$CT_q{\approx}\frac{b}{su(1-b)}\Omega_{GI/G/s}t_e$ ・・・・(13)

となります。

以上でＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列について $k{\ge}s$ の場合の定常状態確率 $p(k)$ と、平均待ち行列長 $L_q$ 、平均待ち時間 $CT_q$ を形式的に、かつ近似的に求めましたが、 $b$ と $\Omega_{GI/G/s}$ の値が判明しなければ、本当に求めたことにはなりません。しかし、今の私には $b$ と $\Omega_{GI/G/s}$ の求め方が分かりません。