クローズド待ち行列ネットワークの到着定理（３）

$R=\frac{\min(k_q+2,m_q)p\left(\vec{k(i:-1,q:+2)}\right)}{\min(k_q+1,m_q)p\left(\vec{k(q:+1)}\right)}$ ・・・・(12)

でした。また、

$\frac{p\left(\vec{k(j:+1)}\right)}{p\left(\vec{k(i:+1)}\right)}=\frac{\min(k_i+1,m_i)m_ju_j}{\min(k_j+1,m_j)m_iu_i}$ ・・・・(7)

でした。
状態 $\vec{k(i:-1,q:+2)}$ と $\vec{k(q:+1)}$ は間に状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ を考えると、 $\vec{k(i:-1,q:+2)}$ は状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ よりステーション $q$ のジョブが１個多い状態、 $\vec{k(q:+1)}$ は状態 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ よりステーション $i$ のジョブが１個多い状態、と見ることが出来るので式(7)が適用出来ます。そこで式(7)を適用すると

$\frac{p\left(\vec{k(i:-1,q:+2)}\right)}{p\left(\vec(k(q:+1)\right)}=\frac{\min(k_i,m_i)m_qu_q}{\min(k_q+2,m_q)m_iu_i}$ ・・・・(13)

となります。
式(13)を式(12)の右辺に代入すると

$R=\frac{\min(k_q+2,m_q)}{\min(k_q+1,m_q)}\frac{\min(k_i,m_i)m_qu_q}{\min(k_q+2,m_q)m_iu_i}$
$R=\frac{\min(k_i,m_i)m_qu_q}{\min(k_q+1,m_q)m_iu_i}$ ・・・・(14)

となります。

ここで状態 $\vec{k}$ と $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ を考えます。 $\vec{k}$ は状態 $\vec{k(i:-1)}$ よりステーション $i$ のジョブが１個多い状態、 $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ は状態 $\vec{k(i:-1)}$ よりステーション $q$ のジョブが１個多い状態、と見ることが出来ます。状態 $\vec{k}$ と $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ はネットワーク全体でジョブ数が $w-1$ の時の状態ですが、式(7)を導く時に考えた道筋と同じ道筋で式(7)と同じ式が成り立つことが分かります。そこで、状態 $\vec{k}$ と $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ について(7)を適用すれば

$\frac{P\left(\vec{k(i:-1,q:+1)}\right)}{P\left(\vec{k}\right)}=\frac{\min(k_i,m_i)m_qu_q}{\min(k_q+1,m_q)m_iu_i}$ ・・・・(15)

となります。（ネットワーク全体でジョブ数が $w-1$ の時の定常状態確率なので $P()$ を用いています。）
式(15)を式(14)の右辺に代入すると

$R=\frac{P\left(\vec{k(i:-1,q:+1)}\right)}{P\left(\vec{k}\right)}$ ・・・・(16)

となります。

これで、以下の定理が証明出来ました。この定理を定理１とします。

定理１
- ネットワーク全体でジョブが $w$ 個ある場合に、ステーション $q$ からステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が $\vec{k}$ である確率と $\vec{k(i:-1,q:+1)}$ である確率の比は、ネットワーク全体でジョブが $w-1$ 個ある場合の $P\left(\vec{k}\right)$ と $P\left(\vec{k(i:-1,q:+1)}\right)$ の比に等しい。