クローズド待ち行列ネットワークの到着定理（４）

待ち行列ネットワークへの助走

「クローズド待ち行列ネットワークの到着定理（３）」の続きです。

  • 定理１
    • ネットワーク全体でジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が\vec{k}である確率と\vec{k(i:-1,q:+1)}である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合のP\left(\vec{k}\right)とP\left(\vec{k(i:-1,q:+1)}\right)の比に等しい。


定理１を導出する過程でi=1にしてもこの導出が成立することに注意して下さい。また、定理１での状態\vec{k}を\vec{k(i:+1.q:-1)}に置き換えると、\vec{k(i:-1,q:+1)}は\vec{k}に置き換わります。よって定理１から状態\vec{k(i:+1.q:-1)}と\vec{k}の間でも同様な関係が成り立つことが分かります。

  • 定理２
    • ネットワーク全体でジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が\vec{k}である確率と\vec{k(i:+1,q:-1)}である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合のP\left(\vec{k}\right)とP\left(\vec{k(i:+1,q:-1)}\right)の比に等しい。

さらに、状態\vec{k}と\vec{k(i:-1,j:+1)}（ただしi{\neq}q、j{\neq}q）について考えます。そして

  • 定理３
    • ネットワーク全体でジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が\vec{k}である確率と\vec{k(i:-1,j:+1)}である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合のP\left(\vec{k}\right)とP\left(\vec{k(i:-1,j:+1)}\right)の比に等しい。

が成り立つかどうかを調査します。遷移確率の比Rは

  • R=\frac{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p\left(\vec{k(i:-1,j:+1,q:+1)}\right)dt}{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p\left(\vec{k(q:+1)}\right)dt}

よって

  • R=\frac{p\left(\vec{k(i:-1,j:+1,q:+1)}\right)}{p\left(\vec{k(q:+1)}\right)}・・・・(17)

となります。式(7)

  • \frac{p\left(\vec{k(j:+1)}\right)}{p\left(\vec{k(i:+1)}\right)}=\frac{\min(k_i+1,m_i)m_ju_j}{\min(k_j+1,m_j)m_iu_i}・・・・(7)

を状態\vec{k(q:+1)}と\vec{k(i:-1,j:+1,q:+1)}に適用すれば

  • \frac{p\left(\vec{k(i:-1,j:+1.q:+1)}\right)}{p\left(\vec{k(q:+1)}\right)}=\frac{\min(k_i,m_i)m_ju_j}{\min(k_j+1,m_j)m_iu_i}・・・・(18)

式(18)を(17)に代入して

  • R=\frac{min(k_i,m_i)m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)m_iu_i}・・・・(19)

次に式(7)を状態\vec{k}と\vec{k(i:-1,j:+1)}に適用すれば

  • \frac{P\left(\vec{k(i:-1,j:+1)}\right)}{P\left(\vec{k}\right)}=\frac{min(k_i,m_i)m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)m_iu_i}・・・・(20)

式(19)と(20)から

  • R=\frac{P\left(\vec{k(i:-1,j:+1)}\right)}{P\left(\vec{k}\right)}・・・・(21)

よって定理３が成り立ちます。


ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合の全ての状態は、合計ジョブ数が一定なので、ステーションi、j、qの間でジョブ数を１つ移す操作を繰り返すことによって、任意の状態から別の任意の状態に変換することが出来ます。（iは１を含むことに注意）　よって定理１、２、３から次の定理が導かれます。

  • 定理４
    • ネットワーク全体でジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が\vec{k}である確率と\vec{k'}である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合のP\left(\vec{k}\right)とP\left(\vec{k'}\right)の比に等しい。


最後に、ネットワーク全体でジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態の確率の合計は１であり、ネットワーク全体でジョブがw-1個ある場合の状態の確率の合計も１であることと、定理４から

  • 定理５
    • ネットワーク全体にジョブがw個ある場合に、ステーションqからステーション1にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態（到着するジョブを除く）の確率分布は、このネットワーク全体にジョブがw-1個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

が導かれます。定理５でのステーション1やステーションqは任意のステーションですから、定理５から、次の定理が言えることになります。

  • クローズド・ジャクソン・ネットワークの到着定理
    • ネットワーク全体にジョブがw個あるとして、あるステーションにジョブが到着する時にそのジョブが見る（自分を除いた）システム全体の状態の確率分布は、このネットワーク全体にジョブがw-1個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

が導かれます。これが、クローズド・ジャクソン・ネットワークの到着定理です。