ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（５）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（４）」ではＤ／Ｄ／ｓの $\Omega$ が $\Pi_{M/M/s}$ と大きく異なることを理由に、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{\Pi_{M/M/s}}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(22)

を根拠づけることに失敗した、と結論づけました。しかし、Ｄ／Ｄ／ｓ待ち行列ではどんな $u$ の値であっても待ち時間が０になるので実は式(1)は成り立っています。というのはＤ／Ｄ／Ｓでは

$c_a=0$ 、 $c_e=0$

なので式(1)から

$CT_q(D/D/s)\approx\frac{0+0}{2}\frac{\Pi}{s(1-u)}t_e=0$

となるからです。
むしろＤ／Ｄ／ｓでは、式(19)

$\Omega_{GI/G/s}{\approx}\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(19)

が成り立たない、ということの影響は、他のＧＩ／Ｇ／ｓの場合も式(19)が成り立たない可能性を示唆した点にあります。式(1)を救うためには、例えばＤ／Ｍ／ｓの場合、式(19)が成り立つかどうか、誤差はどのくらいか、を見極める必要があります。そこで私はここ数週間、Ｄ／Ｍ／ｓの時の $\Omega$ 、つまり、 $\Omega_{D/M/s}$ を求めようといろいろ試行錯誤してきました。その結果、いくつかの知見を得ましたが、結論は式(22)自体を改良する必要があるというものになりました。つまり式(1)をＤ／Ｍ／ｓ待ち行列に適用した場合の結果の精度はあまりよくない、という結果を得たのです。そこで私は別の近似式を提案します。それは

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi_{M/M/s}}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(23)

です。「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１）」からはどのようにして式(23)に到達したかを述べていきます。