Ｍ／Ｍ／ｓにおける待ち確率Π

待ち行列理論

\Piは到着客の待ち確率（delay probability）と呼ばれる量で、客（ジョブ）が到着した時に装置が空いておらず、待たなければならなくなる確率を意味します。装置がs台ある待ち行列で、ジョブが到着する時に待ち行列システムにジョブがk 個存在する確率をP(k)で表すと、

  • \Pi=\Bigsum_{k=s}^{\infty}P(k)・・・・(1)

となります。ところで、Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列の場合、到着分布はポアソン分布なのでＰＡＳＴＡを用いることが出来て、上記のジョブが到着する時の確率は、単純に時間平均での確率に読み替えることが出来ます。つまり、ジョブが到着する時に待ち行列システムにジョブがk個存在する確率P(k)は、待ち行列システムに ジョブがk個存在する（時間平均での）確率p(k)に等しくなります。よってＭ／Ｍ／ｓ待ち行列における\Piを\Pi(M/M/s)で表すと

  • \Pi(M/M/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)・・・・(2)

になります。p(k)は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」で示したように

  • 0{\le}k{\le}s の時
    • p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p_0・・・・(3)
  • k{\ge}sの時
    • p(k)=\frac{s^su^k}{s!}p_0・・・・(4)

ただし

です。(2)と(4)から

  • \Pi(M/M/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}\frac{s^su^k}{s!}p_0
    • =\frac{s^s}{s!}p_0\Bigsum_{k=s}^{\infty}u^k=\frac{s^s}{s!}p_0\frac{u^s}{1-u}
    • =\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p_0

よって

  • \Pi(M/M/s)=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p_0・・・・(6)

式(6)に(5)を代入して

  • \Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s} {s!(1-u)}}・・・・(7)


ここでs=1,2,3の時の\Pi(M/M/s)を求めておきましょう。
s=1の時は、

  • \Pi(M/M/1)=\frac{\frac{u}{1-u}}{1+\frac{u}{1-u}}=\frac{u}{1-u+u}=u

よって

  • \Pi(M/M/1)=u・・・・(8)


s=2の時は、

  • \Pi(M/M/2)=\frac{\frac{(2u)^2}{2(1-u)}}{1+2u+\frac{(2u)^2}{2(1-u)}}=\frac{\frac{2u^2}{1-u}}{1+2u+\frac{2u^2}{1-u}}
    • =\frac{2u^2}{1-u+2u-2u^2+2u^2}=\frac{2u^2}{1+u}

よって

  • \Pi(M/M/2)=\frac{2u^2}{1+u}・・・・(9)


s=3の時は、

  • \Pi(M/M/3)=\frac{\frac{(3u)^3}{6(1-u)}}{1+3u+\frac{(3u)^2}{2}+\frac{(3u)^3}{6(1-u)}}=\frac{\frac{9u^3}{2(1-u)}}{1+3u+\frac{9u^2}{2}+\frac{9u^3}{2(1-u)}}
    • =\frac{9u^3}{2(1-u)+6u(1-u)+9u^2(1-u)+9u^3}
    • =\frac{9u^3}{2-2u+6u-6u^2+9u^2-9u^3+9u^3}=\frac{9u^3}{2+4u+3u^2}

よって

  • \Pi(M/M/3)=\frac{9u^3}{2+4u+3u^2}・・・・(10)


となります。