ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（４）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（３）」の続きです。
ここで用いるのはＧＩ／Ｍ／ｓとＧＩ／Ｍ／１の平均待ち時間の関係です。つまり、 $CT_q(GI/M/s)$ と $CT_q(GI/M/1)$ の関係です。この関係を以下のようにして求めます。

「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(17)（ここでは番号を振り直して式(22)とします）によれば、 $k{\ge}s$ の時、時間平均の確率でシステム内にジョブが $k$ 個ある確率 $p(k)$ は

$p(k)=ub^{k-s-1}(1-b)\Pi(GI/M/s)$ 　ただし $k{\ge}s$ ・・・・(22)

で表されます。ただし、 $\Pi(GI/M/s)$ は、到着したジョブが全ての装置が処理中であるのを見る確率です。これを用いて、平均待ちジョブ数 $L_q(GI/M/s)$ を求めます。

$L_q(GI/M/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}(k-s)p(k)$ ・・・・(23)

なので、これに式(22)を代入すると

- $=u\frac{1-b}{b}\Pi(GI/M/s)\Bigsum_{k=0}^{\infty}kb^k$

ここで「補足」の式(2)（ここでは番号を振り直して式(24)とします）

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^2}$ ・・・・(24)

を用いれば

$L_q(GI/M/s)=u\frac{1-b}{b}\Pi(GI/M/s)\frac{b}{(1-b)^2}$

よって

$L_q(GI/M/s)=\Pi(GI/M/s)\frac{u}{1-b}$ ・・・・(25)

ここで平均待ち時間 $CT_q(GI/M/s)$ を求めるためにリトルの法則を用いると、スループットは $su/t_e$ なので

$CT_q(GI/M/s)=L_q(GI/M/s)\frac{1}{su}t_e$ ・・・・(26)

となります。式(26)に式(25)を代入して

$CT_q(GI/M/s)=\Pi(GI/M/s)\frac{u}{1-b}\frac{1}{su}t_e$

よって

$CT_q(GI/M/s)=\Pi(GI/M/s)\frac{1}{s(1-b)}t_e$ ・・・・(27)

ところで「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(11)（ここでは番号を振り直して式(28)とします）

$b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)st}{t_e}\right)g(t)dt$ ・・・・(28)

は $b$ の値を決定する方程式でした。

さてここで、ＧＩ／Ｍ／ｓとＧＩ／Ｍ／１の２つの待ち行列のジョブの到着間隔の分布が同じ種類であるとはどういうことを意味するのか考え直してみます。例えばこの２つの待ち行列がどちらも２次のアーラン分布である、というのはどういうことを意味するのか考えてみます。同じ２次のアーラン分布であっても平均値は異なるでしょう。平均値が異なっても同じ２次のアーラン分布といえるのは、２つの分布確率密度関数 $g_1(t)$ と $g_2(t)$ の間に

$g_1(t)=ag_2(at)$ ・・・・(29)

という関係があるからだということが分かります。式(29)は片方の分布の $t$ 軸方向を $1/a$ に縮小し、密度軸方向を $a$ 倍に拡大するともう片方の分布になることを表しています。密度軸方向を $a$ に拡大する理由は、そうしないと全確率が１にならないからです。つまり

$\Bigint_0^{\infty}g_1(t)dt=\Bigint_0^{\infty}ag_2(at)dt=\Bigint_0^{\infty}g_2(at)d(at)=\Bigint_0^{\infty}g_2(t)dt$

なので、式(30)が成り立つ場合には、

$\Bigint_0^{\infty}g_2(t)dt=1$

ならば自動的に

$\Bigint_0^{\infty}g_1(t)dt=1$

になります。２つの分布の間に式(29)が成り立つことを「２つの分布の種類が同じである」と言うことにしましょう。ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列とＧＩ／Ｍ／１待ち行列で平均処理時間がどちらも $t_e$ であったとします。そしてＧＩ／Ｍ／ｓの $g(t)$ を $g_s(t)$ と表しＧＩ／Ｍ／１の $g(t)$ を $g_1(t)$ と表すことにし、さらに

$g_s(t)=sg_1(st)$ ・・・・(30)

が成り立つとしましょう。つまり $g_s(t)$ と $g_1(t)$ は種類が同じです。両方の待ち行列の装置の稼働率を求めてみると、ＧＩ／Ｍ／ｓの稼働率 $u_s$ は

- $=\frac{\Bigint_0^{\infty}stg_1(st)d(st)}{t_e}=\frac{\Bigint_0^{\infty}tg_1(t)dt}{t_e}$

となりますが、

$\frac{\Bigint_0^{\infty}tg_1(t)dt}{t_e}$

はＧＩ／Ｍ／１の稼働率 $u_1$ そのものですから

$u_s=u_1$

となり、両者の稼働率は等しいことになります。よって式(30)が成り立つということは「分布の種類も同じで、稼働率も等しい」ということになります。式(30)が成り立っていると式(28)から $b$ の値も同じになります。ＧＩ／Ｍ／ｓの $b$ を $b_s$ 、ＧＩ／Ｍ／１の $b$ を $b_1$ と表して、このことを確かめておきます。まず